Системы счисления © К.Ю. Поляков, ВведениеВведение 2.Двоичная системаДвоичная система 3.Восьмеричная системаВосьмеричная система 4.Шестнадцатеричная системаШестнадцатеричная система 5.Другие системы счисленияДругие системы счисления

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007 Тема 1. Введение

От положения знака в изображении числа не зависит величина, которую он обозначает. Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Основные определения. Знаки, с помощью которых записываются числа в позиционных системах счисления называются цифрами. Все множество используемых знаков(цифр)- алфавитом Количество цифр алфавита – основание системы счисления. Указывается в виде нижнего индекса, справа от числа. Например: 210 3

5 Основание НазваниеАлфавит N=2 Двоичная 0 1 N=3 Троичная N=10 Десятичная N=16 Шестнадцатиричная ABCDEF

6 Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

В римской системе в качестве цифр используется латинские буквы: IVXLCMD

Правила: –Если подряд записаны насколько одинаковых цифр, то они суммируются Например: XX=10+10 –Цифры V,L,D не могут записаны несколько раз подряд –Обычно не ставят больше трех одинаковых цифр подряд –4. Если младшая цифра (только одна!) стоит справа то она складывается с большей, если слева от старшей, она вычитается из большей. –5.Перед большей может стоять только одна меньшая цифра. –6. Перед X может стоять только I, перед L и C только X?, а перед D и М только С.

9 Римская система счисления Примеры: – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644 MDCXLIV =

Число 32 в римской системе счисления имеет вид: XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2 Число 444, имеющее в десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде: CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)= Число 1974 в римской системе счисления имеет вид MCMLXXIV= M+(M-C)+L+(X+X)+(V- I)=

11 Примеры на дом: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 =

12 Римская система счисления Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов

13 Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная)

Он был итальянским математиком. Благодаря его книге « Liber Abaci » Европа узнала индо-арабскую систему чисел, которая позднее вытеснила римские числа.

15 Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующую степени десятки

Например, 5047=5*1000+0*100+4*10+7* = 239,4 Проверить число в восмиричной (перевод в 10) и троичной системе счисления (перевод в 10) F 16

18 Продолжите фразу Система счисления – это… Цифры это… Алфавит – это …. Основание системы счисления

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007 Тема 2. Двоичная система счисления

20 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19

21 Примеры: 131 =79 =

22 Примеры: = = Когда двоичное число четное? ?

23 Перевод дробных чисел ,375 = 2 101, разряды = 1· · · ·2 -3 = ,25 + 0,125 = 5,375, ,75 2, ,5 2, ,7 = ? 0,7 = 0, … = 0,1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой = = 0, ,011 2

24 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заем –

25 Примеры:

26 Примеры: – – – –

27 Арифметические операции умножение деление – –

28 Плюсы и минусы двоичной системы нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.); надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей; двоичные числа имеют много разрядов; запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

29 Двоично-десятичная система BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде) 9024,19 = , BCD , , BCD = , BCD = 153,78 10 BCD BCD ,1 BCD = 15, ,1 2 = ,5 = 21,5 Запись числа в BCD не совпадает с двоичной! !

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007 Тема 3. Восьмеричная система счисления

31 Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, = система счисления разряды = 1· · ·8 0 = = 100

32 Примеры: 134 =75 = = 75 8 =

33 Таблица восьмеричных чисел X 10 X8X8 X2X2 X8X8 X2X

34 Перевод в двоичную и обратно трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! = { {{{

35 Примеры: = = = =

36 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: Ответ: =

37 Примеры: = = =

38 Арифметические операции сложение = 8 = = 12 = = 8 = в перенос в перенос

39 Пример

40 Арифметические операции вычитание – – (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заем

41 Примеры – – – –

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007 Тема 4. Шестнадцатеричная системы счисления

43 Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, = 6B 16 система счисления 1C разряды = 1· · ·16 0 = = 453 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 B B C C

44 Примеры: 171 = 206 = 1BC 16 = 22B 16 =

45 Таблица шестнадцатеричных чисел X 10 X 16 X2X2 X 10 X 16 X2X A B C D E F1111

46 Перевод в двоичную систему трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A 16 = 7 F 1 A 0111 {{ {{

47 Примеры: C73B 16 = 2FE1 16 =

48 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: E E F F Ответ: = 12EF 16

49 Примеры: = = =

50 Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA 16 = Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: DEA 16 =

51 Примеры: A35 16 = =

52 Арифметические операции сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 A 5 B 16 + C 7 E D =25= =13=D =22= в перенос 13961

53 Пример: С В А 16 + A С В А 16 + A

54 Арифметические операции вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 С 5 B 16 – A 7 E 16 заем 1 D D – – (11+16) – 14=13=D 16 (5 – 1)+16 – 7=13=D 16 (12 – 1) – 10 = 1 заем 131

55 Пример: 1 В А 16 – A В А 16 – A

Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007 Тема 5. Другие системы счисления

57 Троичная уравновешенная система Задача Баше: Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

58 Троичная уравновешенная система + 1гиря справа 0гиря снята – 1гиря слева Веса гирь: 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг Пример: 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг ур = Реализация: ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958) 50 промышленных образцов 40 Троичная система! !

59 Конец фильма