Решение заданий В3 Готовимся к ЕГЭ

Теорема Пика Пусть L число целочисленных точек внутри многоугольника, B количество целочисленных точек на его границе, S его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S = L + B/2 – 1 Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки), B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = /2 – 1 = 15 квадратных единиц. 1см

Теорема Пика Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтому S = /2 – 1 = 22 квадратных единиц. 1см

Площадь прямоугольного треугольника Пусть а и b катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S его площадь. Тогда справедливы формулы: 2 1 S = ab a b 2 1 S = ch c h

Площадь произвольного треугольника Пусть а сторона треугольника, h а – высота, проведенная к этой стороне, S его площадь. Тогда справедлива формула: 2 1 S = ah a a haha a haha

Площадь параллелограмма Пусть а сторона параллелограмма, h а – высота, проведенная к этой стороне, S его площадь. Тогда справедлива формула: S = ah a a haha haha a

Площадь трапеции Пусть а и b основания трапеции, h – высота, S площадь трапеции. Тогда справедлива формула: b h 2 a + b S = h a b h a

Площадь четырехугольника Пусть d 1 и d 2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S его площадь. Тогда справедлива формула: 2 1 S = d 1 d 2 sin α d2d2 d1d1 d2d2 d1d1

Площадь круга Пусть R радиус круга, d = 2R – диаметр, С = 2πR – длина окружности, S его площадь. Тогда справедливы формулы: S = πR 2 R d СdСd 4 1 S = πd2πd2 4 1 О

Площадь кругового сектора Пусть R радиус круга, α – градусная мера соответствующего центрального угла, S его площадь. Тогда справедлива формула: R πR2πR2 360 S = · α α О

Площадь кольца Пусть R радиус внешней окружности, r – радиус внутренней окружности, S его площадь. Тогда справедлива формула: О R r S = π(R 2 – r 2 )

Задания открытого банка задач 1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 10,5. Решение: 7 3 1см

Задания открытого банка задач 2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. Решение: 8 4 1см haha

Задания открытого банка задач 3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12. Решение: 8 1см haha 3

Задания открытого банка задач 4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12. Решение: 4 6 1см haha

Задания открытого банка задач 5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12. Решение: 3 8 1см haha

Задания открытого банка задач 6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 33. Решение: 1см

Задания открытого банка задач 7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 15,5. Решение: 1см

Задания открытого банка задач 8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 50. Решение: 1см 1 7 по теореме Пифагора: а а

Задания открытого банка задач 9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 20. Решение: 1см 2 6 по теореме Пифагора: а b 1 3

Задания открытого банка задач 10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. Решение: 1см 4 8

Задания открытого банка задач 11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 17,5. Решение: 1см 5 4 3

Задания открытого банка задач 12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 8. Решение: 1см 6 4 8

Задания открытого банка задач 13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 30. Решение: 1см 5 4 8

Задания открытого банка задач Ответ: 36. Решение: 1см Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задания открытого банка задач 15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 28. Решение: 1см 7 4

Задания открытого банка задач 17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 25,5. Решение: 1см

Задания открытого банка задач Ответ: 13,5. Решение: (1 способ) 1см Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 2 3

Задания открытого банка задач Ответ: 13,5. Решение: (2 способ) 1см Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах S2S2 S3S3 S4S4

Задания открытого банка задач 19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 51. Решение: 1см

Задания открытого банка задач 20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 31. Решение: 1см

Задания открытого банка задач 21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 33,5. Решение: 1см

Задания открытого банка задач 22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 24. Решение: 1см

Задания открытого банка задач 23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 14,5. 1см Решение:

Задания открытого банка задач 24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 18. 1см 7 8 Решение: 3 2

Задания открытого банка задач 25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. 1см Решение: (1 способ) Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4 2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна

Задания открытого банка задач 26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. 1см Решение: (2 способ) L = 15 (красные точки), B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика S = L + B/2 – 1 S = /2 – 1 = 16

Задания открытого банка задач 27. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 19,5. 1см Решение: (1 способ)

Задания открытого банка задач 28. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 19,5. 1см Решение: (2 способ) L = 16 (красные точки), B = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика S = L + B/2 – 1 S = /2 – 1 = 19,5

Задания открытого банка задач 29. Найдите площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π. Ответ: 11,25. Решение: 3 3 R по теореме Пифагора: 1см

Задания открытого банка задач 30. Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π. Ответ: 5. Решение: по теореме Пифагора: 1см 2 R 1 О

Задания открытого банка задач 31. Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π. Ответ: 13. Решение: по теореме Пифагора: 3 3 R 1см 1 2 r

Задания открытого банка задач 32. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ: 180. Решение: R r

Задания открытого банка задач 33. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ: 21. Решение: R r

Задания открытого банка задач 34. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ: 16. Решение: R r

Задания открытого банка задач 35. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 93. Найдите площадь заштрихованного сектора. Ответ: 31. Решение: R Найдем величину смежного с центральным угла α : О С М α Значит, круговой сектор имеет величину: 180º 60º = 120º, что составляет 1/3 часть круга R

Задания открытого банка задач 36. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27? Ответ: 36. Решение: О