Готовимся к ЕГЭ

f(x) f / (x) x На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y = f / (x) y x Найдем точки, в которых f / (x)=0 (это нули функции). + –– + +

f(x) f / (x) x По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов. y = f / (x) y x ––++ Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 4 точки экстремума Ответ: 2 точки минимума

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1] Ответ: x max = –

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ Найдите количество точек экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 3; 7] Ответ:

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В точках –5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем Ответ: (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В точках –5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем Сложим целые числа: -7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8) Ответ: 1

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них Ответ:

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? Ответ: – На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наименьшее значение? Ответ: – На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ В какой точке отрезка [ 0; 3] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? Ответ: На отрезке [ 0; 3] функция у =f (x) возрастает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х=3.

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) y x + ––++ В какой точке отрезка [ 1; 4] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? Ответ: Наибольшее значение на отрезке [ 1; 4] функция у =f (x) будет принимать в точке максимума х=3.

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек максимума. f(x) f / (x) y = f / (x) y x –+ –– –++

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания. f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) y x + 1

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума. f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) y x -5 +

х На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке [-5;5]. Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите наибольшую точку максимума. y = f / (x) f / (x) f(x) Из двух точек максимума наибольшая х max = 3

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 6; 7). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума. f(x) f / (x) 3 + – y = f / (x) y x – +

y = f / (x) f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. + – IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII y x -6 2

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) В8. В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. y = f (x) y x ). f / (x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:

3 ). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) х=0 точка перегиба, в этой точке производная равна 0! В8. В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x ). f / (x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 5. Решение:

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) В точке х=1 производная не существует В8. В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x ). f / (x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:

В8. В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. y = f(x) y x a b

В8. В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-7; 7) На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 10. y = f(x) y x -7 y = 10

В8. В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7). На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6. y = f(x) y x y = 6. В этой точке производная НЕ существует!

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х 0. х х0х0 у острый положительно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый. Значит, значение производной в точке х 0 положительно. Решение: 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников, например,…. 3 ). Найдем тангенс угла – это отношение 9:6. Ответ:1,5 O 9 6

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х 0. х х0х0 у O тупой отрицательно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой. Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно. Решение: 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников. 3 ). Найдем тангенс угла – это отношение 3:4. Ответ: -0,75 3 4

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х 0. х0х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 4 : 4 =1, к=1

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х 0. х0х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 6 : 3 =2. Значит, k= -2