Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 21» Алгебра и начала анализа 10 класс Шесть способов решения одного тригонометрического уравнения Стрельников Михаил

2 Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер / английский математик и педагог XX века/

3 Шесть способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

4 Задача. Решите уравнение различными способами: sin x – cos x = 1. ?

5 Способ первый. Приведение уравнения к однородному. sin x – cos x = 1 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим: sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2.,.

6 Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: S in x – cos x = 1 Далее так, как в первом способе.

7 Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1 В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. = sin /4 = cos /4 sin cos - cos sin = sin ( - )

8 Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе. 1 cos x = sin ( / 2 – x )

9 Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x - cos x = 1 Возведем в квадрат: или

10 Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin 2 x - 2sin x cos x + cos 2 x = 1, sin 2 x + cos 2 x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0, Ответ: x = n, n Z, x= /2 + n, n Z. или cos x =0 x= /2 + n, n Z sin x = 0 x = n, n Z