Решение тригонометрических уравнений и неравенств

1. Имеет ли смысл выражение: а) arcsin ; б) arccos ; в) arcsin ( -1) 2 ; г) arctg. да нет дада да, при а0

а) sin x = - 1; б) cos х = ; в) sin х = 0; г) tg x = 1; 2. Решить уравнения:

3. Решить неравенства: а) cos t < ; б) sin t > - 1,3; в) cos t 0; г) tg t 1; решение

3. Решить неравенства: а) cos t < ; 0 x y 1

б) sin t > - 1,3; 3. Решить неравенства: 0 x y 1 -1,3

в) cos t 0; 3. Решить неравенства: 0 x y 1

г) tg t 1 3. Решить неравенства: 0 x y 1 1

1. Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений Введение новой переменной. Разложение на множители. Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени. Деление обеих частей уравнения на cos 2 (mx) для однородных уравнений второй степени.

2. Решите уравнение а) sin 2 x + 4cos x = 2,75; б) tg x + 3ctg x = 4; в) 2 sin х · cos х - cos 2 x = 0; г) 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2. решение

1 – cos 2 x + 4cos x = 2,75; Пусть cos x = t, t 1, тогда t 2 – 4t + 1,75 = 0; D = ·1,75 = 16 – 7 = 9; а) sin 2 x + 4cos x = 2,75; Вернёмся к исходной переменной:

б) tg x + 3ctg x = 4; Пусть tg x = t, тогда t 2 – 4t + 3 = 0; По свойству коэффициентов квадратного уравнения (a+b+c = 0): Вернёмся к исходной переменной:

в) 2 sin х · cos х - cos 2 x = 0; cos х(2sinx – cosx) = 0;

г) 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2; 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2 cos 2 x + 2 sin 2 x; 3 sin 2 x + sin х · cos х – 4 cos 2 x = 0; 3tg 2 x + tg х – 4 = 0; Пусть tg x = t, тогда 3t 2 + t – 4 = 0; По свойству коэффициентов квадратного уравнения (a+b+c = 0): Вернёмся к исходной переменной:

а) cos (2x - ) < 0; б) sin x · cos3x + cos x ·sinx > ; в) sin x cos x; г) tg 2 x Решите неравенство решение

а) cos (2x – ) < 0; Пусть t = 2х –, тогда cos t < 0. 0 y 1 x

б) sin x · cos3x + cos x ·sin3x > ; sin(x + 3x) > ; sin4x > ; Пусть t = 4х, тогда 0 x y 1

в) sin x cos x; sin x – cos x 0; / Пусть t =, тогда sin t 0. 0 x y способ

2 способ в) sin x cos x; 0 x y 1 Проведём прямую, удовлетворяющую условию: sin x = cos x.

г) tg 2 x 3; 0 x y 1