ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Выполнили: ученики 8 «А» класса Иванин Андрей и Кокотко Вячеслав Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия – пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей. Морис Клайн

Цель данной работы: изучить геометрическое определение "золотого сечения"; изучить алгебраические свойства золотой пропорции; узнать о применении золотого сечения в математике ; изучить применение золотого сечения в жизни человека ; способствовать познанию законов красоты и гармонии окружающего мира.

Содержание Понятие золотого сечения Основатели учения о золотом сечении Золотое сечение в архитектуре Золотое сечение в живописи Золотое сечение в живых организмах Пентаграмма Самый «правильный» многогранник Золотое сечение вокруг нас Список используемой литературы

Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ, то есть: А С В Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ=а сводится к решению уравнения a:x=x:(a-x), где x=b, откуда x= = 0,62a. Отношение x к а может быть так же выражено дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21,…, где 2, 3, 5, 8, 13, 21,… - числа Фибоначчи.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.

«Сравнение математических фигур и величин служит материалом для игр и обучения мудрости» Песталоцци И.Г. Отрезок АВ так относится к его большей части AD, как эта большая часть AD относится к его меньшей части DB. Иначе говоря, точка D делит отрезок AB в « золотой пропорции ». Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий ( leuta - пять, gramma - черта, линия). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах. Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и золотые отношения будут сохраняться.

«Есть в математике нечто вызывающее восторг» Хаусдорф Ф. Есть предположение, что Пифагор понятие золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. И, действительно пропорции пирамиды Хеопса, барельефы предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношением золотого сечения при их создании. Сфинкс, охраняющий гробницу Тутанхамона Пирамида Хеопса

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами - это теорема Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.» Иоганн Кеплер Пропорции, т. е. равенства отношений изучались пифагорейцами. Евдокс развил учение о пропорциях – одно из величайших достижений греческой математики. Термин « золотое сечение » ввёл Леонардо да Винчи. Евдокс (408 – ок.355 г.г.до н.э.) Пифагор ( г.г.до н.э.) Леонардо да Винчи ( г.г.)

«Не знающий геометрии да не войдёт в Академию». Платон Пентаграмма – тайный знак пифагорейского братства – была выбрана ими в качестве символа жизни и здоровья. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживающим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звёздчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившимся у хозяина и щедро его вознаградил.

«Ходить превыше звёзд влечёт меня охота, И облаком нестись, презрев земную низкость.» М.В.Ломоносов Отрывок из «Фауста»: М е ф и с т о ф е л ь Трудновато выйти мне теперь. Тут кое – что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога. Ф а у с т Так пентаграмма этому виной? Но как же бес пробрался ты за мной? Каким путём впросак попался? М е ф и с т о ф е л ь Изволили её вы плохо начертить. И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить. Пентаграмму изображали для того, чтобы спастись от проникновения в дом злых духов. Иоганн Вольфганг Гёте (1749 г. – 1832 г.)

«Если бы мне пришлось начать вновь своё обучение то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику». Галилей Г. По Платону : пять правильных многогранников – пять стихий. Додекаэдр олицетворяет вселенную. Платон считал додекаэдр самым « правильным » из всех правильных многогранников, т. к. его грани – правильные пятиугольники – сотканы из золотых пропорций.

«Да, путь познания не гладок, Но знаем мы со школьных лет: Загадок больше, чем разгадок, И поискам предела нет!» Татьяничева Л. Бог – отец « оберегает » вселенную, имеющую форму додекаэдра. 12 граней додекаэдра и 12 апостолов Христа не просто совпадение - в картине САЛЬВАДОРА ДАЛИ « Тайная вечеря » заключён глубокий религиозный смысл. Сальвадор Дали

«Мышление начинается с удивления» Приписывается Аристотелю Леонардо да Винчи любил мастерить каркасы правильных тел и преподносить их в дар знатным особам, возможно пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским размышлениям о красоте вечных истин. Рисунки Леонардо да Винчи из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»

«Гёте удачно назвал благородный собор «окаменелой музыкой», …» Юнг Д. Церковь Покрова Богородицы на Нерли 1165 год « Простая » красота пропорций золотого сечения.

«…, но, быть может, ещё лучше было бы назвать такой собор «окаменелой математикой» Юнг Д. Пропорции Покровского Собора на Красной площади в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения : Многие члены ряда золотого сечения повторяются в затейливых элементах храма многократно : золотого

«Поистине живопись – наука и законная дочь природы…» Леонардо да Винчи Сандро Ботичелли « Рождение Венеры » ( около 1485 г ). Пропорции Венеры выполнены в золотом сечении.

Портрет «Мона Лиза» (Джоконда) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль.

Музыка Скрипка создавалась по чертежу, в основе которого лежал принцип золотого сечения. Параметры хранящейся в Госколлекции скрипки Страдивари работы 17 века. длина корпуса мм, ширина верхней окружности – 169 мм нижней – 210 мм; середины – 115 мм.

Отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д. Апллон Бельведерский Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

«Высшее назначение математики…состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». Винер Н. « Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны … все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка … Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия ». Ле Корбюзье Пропорции идеальной фигуры человека, по Корбюзье, должны подчиняться золотому сечению. золотому Модулор Ле Корбюзье

«Пристальное и глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики» Фурье Ж. пропорции, близкие к золотому сечению.золотому

Золотое сечение в природе Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра – поверхности, составленной из 12 правильных пятиугольников. Как показывают раскопки в Италии, пирит был любимой игрушкой этрусских детей во времена Пифагора. Кристаллы пирита / Рисунок кристалла пирита

«Тысячи путей ведут к заблуждению, к истине – только один» Жан Жак Руссо Пентаграмма пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Буркина Фасо Венесуэла Гвинея - Бисау Гена Вьетнам Гондурас Гренада Джибути ДоминикаЗимбабвеИрак Йемен

«Мудрее всего – время, ибо оно раскрывает всё» Фалес Камерун Китай Коморские острова Корейская народная Демокр-ая р - ка Куба Либерия Мавритания Микронезия Мозамбик Новая Зеландия Пакистан Папуа – Новая Гвинея Столь необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота её внутреннего математического содержания являются основой её внешней красоты.

«Ни тридцать лет ни тридцать столетий не оказывают никакого влияния на ясность или на красоту геометрических тел» Кэррол Л. (Додгсон) Раифский мужской монастырь – единственный в Татарии сохранившийся монастырский комплекс, построенный в XVII веке. Комплекс имеет форму пятиугольника. Пентагон в США. Комплекс имеет форму правильного пятиугольника, сотканного из золотых пропорций. золотых

«Кто любит учиться - никогда не проводит время в праздности» Монтескье Ш Золотой прямо- угольник 1 А В С D Многие современные изделия с прямоугольными гранями имеют форму граней, близкую к «золотому сечению».

« В задачах, которые ставит перед нами жизнь, экзаменатором является сама природа» Сойер У. Линии золотого сечения « вырезают » в кадре монитора области, связанные с ощущениями порядка, академической суховатой продуманности и рассудочности. золотого Дополнительные опорные линии (линии золотого сечения) Показан вариант для монитора со средним размером экрана (600 на 800 пикселей).

Золотое сечение и мода Присмотритесь к своей одежде и попробуйте комбинировать вещи именно в данной пропорции. Вы увидите насколько гармоничнее будет выглядеть ваша фигура!

1. золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы; 2. человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. 3. золотое сечение в природе, искусстве, архитектуре является непременным условием правильного и красивого изображения предмета, впоследствии украшающего нашу жизнь. Работая над проектом, мы пришли к выводу, что красота таинственна, разнообразна и окружает нас повсюду, но вся она поддается одним и тем же законам, знание и применение которых делает нас и жизнь прекраснее. Выводы:

Список используемой литературы 1.А.В. Волошинов. Пифагор.- М: «Просвещение» 1993 г. 2.Г.И. Глейзер. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей.- М: «Просвещение» 1982 г. 3.Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. М: «Просвещение» 1981 г. 4.www photoline.ru/tcomp 1.htm. 5.http//