Предел функции. Непрерывные функции. x x 0 y 0 y x 0 y x 0 y а)б)в)г)

Рассмотрим функцию x 0 y f(x)f(x) 2 4 О.О.Ф х - любое действительное число. При х=2

0 y x g(x) 2 4 Рис. 2. Функция Определена для любых значений x, кроме x = 2.

Функция 0 y x h(x)h(x) Функция h(x) отличается от ранее рассмотренной функции g(x) только поведением в точке x = 2: g(x) при x = 2 вообще не имеет никакого значения, а h(x) имеет значение, но довольно «странное», не соответствующее поведению функции при других значениях x, близких к x = 2.

Значения всех трех функций стремятся к одному и тому же числу 4. Условно это показано на рис. 4. Рис. 4. Функции f(x), g(x) и h(x) имеют один и тот же предел при x 2 0 x y 2 4

0 y f(x)f(x) y x g(x) y x h(x)h(x) Значения всех трех рассмотренных функций при х2 совпадают со значениями функции у=х 2. Однако они отличаются своим поведением в точке х=2: первая и третья функции определены в точке точке х=2, но для первой функции у(2)=4, а для третьей у(2)=7; вторая функция при х=2 не определена. Все эти функции обладают одним общим свойством: при значениях х, близких к 2, значения каждой из этиж функций мало отличаются от 4. В этом случае говорят, что каждая из этих функций имеет в точке х=2 предел, равный 4

Число a называется пределом функции y = f(x) при x стремящемся к, если для любого числа > 0 можно указать такое число > 0, что при выполняется неравенство Обозначение:. Определение

Число a называется пределом функции y = f(x) при x стремящемся к, если для любого числа > 0 можно указать такое число > 0, что из принадлежности x к -окрестности точки без самой точки следует принадлежность y к -окрестности точки a. x0x0 x 0 – x 0 + x 0 a y a– a+ f(x)f(x) Рис. 5. К понятию предела функции в точке

Задание 1. Найдите: 1) 2). 2)

x x 0 y 0 y x 0 y x 0 y а)б)в)г) Рис. 6. Примеры функций, не имеющих предела при x x 0

Есть ли предел функции в указанной точке? Если есть, то чему он равен. Если нет – то объясните почему

0 y f(x)f(x) y x g(x) y x h(x)h(x) Непрерывные функции

1.Определена ли функция в данной точке? 2.Является ли указанная точка внутренней точкой области определения? 3.Имеет ли функция предел в указанной точке? 4.Равен ли предел значению функцию в данной точке? (х=1) (х=-3) (х=1) (х=0)

Характерные признаки непрерывности: a D(f); x = a – внутренняя точка области определения; существует предел функции в точке х = а; предел функции в точке х = а равен значению функции в точке х = а.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0, если f(х 0 ) Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0, если f(х 0 ) Определение. (Функцию называют непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке.)

– А что можно сказать про функцию 6 в точке х = 0? Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают одностороннюю непрерывность (справа и слева), определяя ее равенствами f (a + 0) = f (a) или f (a – 0) = f (a).

Определение. Функция f(x), непрерывная в каждой точке интервала (а, b), называется непрерывной ни этом интервале. Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (а, b), и в точке а непрерывна справа, а в точке b – непрерывна слева.

Пример 1 Исследуйте функциюна непрерывность. D(y) = (– ; 2) U (2; 3) U (3; + ). Y = sin x непрерывна в каждой точке xR, y = x 2 – 5 x + 6 непрерывна при x R и отлична от нуля всюду, кроме точек х = 2 и х = 3. Поэтому данная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой, кроме х = 2 и х = 3, следовательно она непрерывна на (– ; 2)U(2;3)U(3;+ ). ).