Определение и теорема Примеры Задачи

Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М любая точка М переходит в симметричную ей точку М 1 переходит в симметричную ей точку М 1 относительно оси а. относительно оси а..М.М а.М1.М1

Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки А и В переходят в какие-то точки А 1 и В 1 так, что А 1 В 1 =АВ. Движение пространства - это отображение пространства на себя,сохраняющее расстояние между точками.

А.. А 1 В1.В1. В.В. а А 1 В 1 =АВ

Теорема 1 Дано:fосевая симметрия; А>А 1; В>В 1; М>М 1; М(x;y;z), М 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ); А(x 2 ;y 2 ;z 2 ); B(x 3 ;y 3 ;z 3 ) До-ть:что осевая симметрия является движением. (AB=A 1 B 1 ) Решение: Если М не принадлежит OZ,то ось OZ: 1)проходит через середину отрезка ММ 1. 2)перпендикулярна к нему. Из 1усл.по формулам получаем (x+x 1 )/2 и (y+y 1 )/2, откуда x 1 =-x и y 1 =-y. Из усл. 2 :z 1 =z. Полученные формулы равны если т-а М лежит на оси Oz.

A(x 2 ;y 2 ;z 2 ); A 1 (-x 2 ;–y 2 ;z 2 ) A>A 1 A>A 1 B(x3;y3; z3);B(x3;y3; z3);B(x3;y3; z3);B(x3;y3; z3); B 1 (–x 3 ;–y 3 ; z 3 ) B>B 1 По формулам м/у двумя точками получаем: точками получаем: AB= (x 3 -x 2 ) 2 +(y 3 -y 2 ) 2 +(z 3 -z 2 ) 2, A 1 B 1 = (-x 3 +x 2 ) 2 +(-y 3 +y 2 ) 2 +(z 3 -z 2 ) 2 => AB=A 1 B 1 AA1A1 B B1B1 z x y o f f

ПРИМЕР Треугольник Ромб Квадрат Сложные примеры Равнобедренный треугольник Круг

НАЗАД

Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(0;1;2), В(3;-1;4), С(1;0;-2) при: осевой симметрии относительно координатных осей.

Дано: А(0;1;2), В(3;-1;4), С(1;0;-2) Найти:А 1, В 1,С 1 Решение : Выберим произвольную ось симметрии Oz.Если т-и не лежат на оси симметрии,то ось Oz проходит ч/з середину отрезка АА 1, ВВ 1 и СС 1 к ним => x 1 =-x и y 1 =-y и z 1 =z => А(0;-1;2), В(-3;1;4), С(-1;0;-2) Ответ: А(0;-1;2), В(-3;1;4), С(-1;0;-2)

Докажите, что при осевой симметрии плоскости прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллелью оси симметрии

l a b A B A1A1 B1B1 Дано: l – ось симметрии, а l, Доказать: b l Доказательство: Если а II l, то симметричная прямая b тоже II l, при осевой симметрии сохраняется расстояние между точками: АА1 перпендикулярно l; BB1 перпендикулярно l, следовательно b II a; Так как a II l; a II b, то есть b II l. ч.т. д. НАЗАД