§7. Интеграл Коши. g- односвязная. - Не зависит от выбора !

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Интегрирование функций комплексного переменного.
Advertisements

Def. Точка z 0 g называется точкой сгущения (предельной точкой) g, если в Def. (по Гейне) Комплексное число w 0 называется пределом f(z) z g, в точке z.
§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.
§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.
§20. Конформные отображения.. Определение обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z.
Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Фурье Лектор Пахомова Е.Г г.
Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)
Def. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел. Члены последовательности располагаются в порядке.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Интеграл Фурье.
Интегральная теорема Коши Выполнила: студентка гр.2Б15 Сафиулина Эльза.
Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные.
Модуль 5 УЭ-6 Фундаментальное решение. где - расстояние между точками и. Тогда при функция Фундаментальное решение уравнения Лапласа Теорема 6.1. Пусть.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
§18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.
Транксрипт:

§7. Интеграл Коши. g- односвязная

- Не зависит от выбора !

Интегральная формула Коши

Замечания. 1) Если g- многосвязная, то полная граница

Условия Гельдера.

5) Формула верна и для C + g, который можно стянуть к z 0, оставаясь внутри g.

Следствия интегральной формулы Коши. 1) Формула среднего значения. g- односвязная

Формула среднего значения Формула Гаусса

2)Принцип максимума модуля аналитической функции Доказательство.

Если

Замечания. 1) Принцип минимума модуля 2) Теорема верна и для многосвязной области.

Геометрическая интерпретация Линии равного уровня функций u(x,y), v(x,y) не замкнуты.

§8. Интеграл типа Коши. C- кусочно-гладкая Интеграл типа Коши

Теорема 8.1 Доказательство. Пусть

Замечание. Теорема 8.2 Теорема 8.3 Доказательство. Т. 8.1+Замечание. Метод математической индукции. непрерывна. непрерывная

Теорема 8.4. (Основная!). Если f ( z ) C (g), то для n и z g f ( n ) ( z ) C ( g ). Доказательство. Пусть Интегральная формула Коши - интеграл типа Коши

Теорема Морера Теорема 8.5. (Морера) Если g-односвязная,для замкнутого контура g то Доказательство. По т по т. 8.4.

1) Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши. 2) Теорема 8.4 и теорема Морера справедливы и для многосвязных областей. Замечания.

Теорема Лиувилля Если f(z) C (E) и f(z) const, то при z, |f(z)|. Другая формулировка: Если f(z) C (E) и M: | f ( z )| M, то f(z) const. E- комплексная плоскость, НЕ включающая.

Доказательство. независимо от R

Определение. f(z) C (E) (z ) называется целой функцией. f(z)=z n. Отображение области однолистности : сектор раскрыва 2 /n отображается на всю комплексную плоскость. Целая функция const не может быть ограничена по абсолютной величине. Следствие. Невозможно отобразить конформно плоскость с выколотой точкой или расширенную плоскость на единичный круг !

§9. Интегралы, зависящие от параметра. C- кусочно-гладкая 1) 0 C (z, 0 )= f(z) C (g): / z(z, 0 ) C (g). 2) z, >0 | z+ z, z, |< при | z|,| |

3) / z(z, ),…, n / z n (z, )- также непрерывны по совокупности переменных. Замечание. Из 2 => (z, ) непрерывна по z в z g равномерно по, т.е. для фиксированного z 0 g и 0 z 0 >0 | z 0 + z, z 0, |< при | z|< для всех C одновременно. Аналогичное утверждение справедливо и для / z(z, ). Доказательство. От противного, аналогично доказательству равномерной непрерывности в замкнутой области (Т. 3.1).

Теорема 9.1 Если (z, ), z g, C удовлетворяет условиям 1-3, то

Доказательство. 3 этапа: (Замечание к 2.)

(Замечание к 2.) Аналогично 1).