4. Линейность изображений. a) Многочлен.

5. Теорема запаздывания.

Изображение прямоугольного импульса.

6. Изображение производной кусочно- непрерывная

(по частям)=

кусочно- непрерывная

7. Изображение интеграла.

8. Изображение свертки.

п.3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.

Пусть

Интеграл Дюгамеля.

п.4. Теорема Меллина. Пусть и (равномерно относительно аргумента) (равномерно ограничен по x )

Тогда

Замечание. Несобственный интеграл вычисляется вдоль прямой Re p=x>a и понимается в смысле главного значения:

Доказательство. Рассмотрим и докажем:

Замечание: на [0,T] интеграл сходится равномерно по t. 2) Покажем, что I(x, t) не зависит от x при x > a. Т.к.

т. Коши

интегралы по горизонтальным отрезкам дадут в пределе 0. Интегралы по вертикальным прямым перейдут в несобственные интегралы Т.к.

3) Докажем, что I ( x, t ) 0, t < 0. Рассмотрим I( x, t ) при t < 0

т. Коши л. Жордана для Re z > 0

Покажем, что

=(интеграл можно вычислить с помощью вычетов, учитывая, что контур обходится по часовой стрелке -)=

Замечание. Если аналитическое продолжение F(p) в левую полуплоскость (Re p< a), имеющее конечное число N изолированных особых точек p n и удовлетворяющее условиям леммы Жордана, то

В частности, если F(p)=1/P n (p), где все нули полинома P n (p) лежат в левой полуплоскости Re p

Пример.

осциллирующая функция с линейно нарастающей амплитудой- резонанс.

п.5. Изображение произведения.

Пример.

={при помощи вычетов, с учетом того, что контур интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке- в отрицательном направлении}= {q=p- полюс 2-го порядка }

Замечание. Можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в i ;