§18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.
Лемма 18.1
Лемма 18.1 Пусть f(z) C ( | z | > R 0 Imz >0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и Тогда C' R - полуокружность | z |=R Im z>0.
Доказательство. При R>R 0 :
Замечания.
z нуль f(z) не ниже второго порядка. Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если
Теорема Лемма 18.1
Доказательство.(Л.18.1)
Замечания. Т => Лемма 18.1 Аналог Т. 18.1
Пример полюса 1-го порядка
(Л.18.1)
Лемма 18.2 (Жордана)
Доказательство.
Замечания. Лемма Жордана
Теорема Лемма Жордана
Доказательство.(Л.Жордана)
Пример ia- полюс 1-го порядка
Замечание. При незначительном изменении формулировок Лемм 18.1 и 18.2 они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек f(z).
Определение. Ф.К.П. f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Некоторые интегралы