З АДАЧА К ОШИ Задача с начальными условиями

В ВЕДЕНИЕ Математическое моделирование – это технология изучения и прогнозирования проявлений интересующих нас объектов с использованием возможностей математики.

В ВЕДЕНИЕ Математическая модель - это приближенное представление закономерности проявления некоторого класса объектов или явлений окружающего мира, выраженное в виде математических конструкций–аналогов и сформулированное в математических терминах и символах.

В ВЕДЕНИЕ Этапы решения задачи математического моделирования: 1) Построение математической модели. 2) Исследование задачи на основе построенной модели. 3) Оценка адекватности модели и внесение корректив. 4) Возможное совершенствование модели.

В ВЕДЕНИЕ Моделирование и компьютер: Процедуру математического моделирования все чаще неразрывно связывают с использованием компьютеров. В современных информационных технологиях математическое моделирование играет роль « интеллектуального ядра » - наукоемкого фильтра, преобразующего « информационное сырье в готовый продукт, т.е. в точное знание ».

В ВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧУ К ОШИ Задача Коши одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

В ВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧУ К ОШИ Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы: 1)Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши? 2)Если решение существует, то какова область его существования? 3)Является ли решение единственным? 4)Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком- либо смысле) относительно начальных данных?

В ВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧУ К ОШИ Различные постановки задачи Коши: 1) ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной. 2) Система n ДУ первого порядка, разрешённая относительно старших производных. 3) ДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной.

Т ЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ К ОШИ ДЛЯ ДУ Пусть в области рассматривается задача Коши: где. Пусть правая часть является непрерывной функцией в. В этих предположениях имеет место теорема Пеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши.

Т ЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ К ОШИ ДЛЯ ДУ Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Введем константу L, такую что Тогда если L существует, то функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица на D относительно y и следовательно задача Коши не может иметь в D более одного решения.

Т ЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ К ОШИ ДЛЯ ДУ Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию где A>0 - константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D.

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ По какой линии изогнется балка под действием внешней силовой нагрузки? Исходные данные: длина балки; форма и размеры поперечного сечения; материал, из которого изготовлена балка; в каких местах и какими способами закреплена балка; в каких местах приложены к балке внешние силовые воздействия, ее деформирующие, каков характер их действия;

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ Этап 1: Формулирование идеи, закладываемой в математическую модель. Если внешняя силовая нагрузка, изогнув закрепленную балку, не меняясь, продолжает на нее действовать, изогнувшаяся балка остается в состоянии равновесия, примет состояние покоя.

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ Этап 2: Формирование математической модели поставленной задачи. Изначально прямолинейная балка изгибается под действием на нее некоторых внешних усилий. При фиксированных значениях внешних воздействий балка принимает конкретную искривленную форму.

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ Для упрощения модели введем гипотезу плоских сечений : При малых деформациях твердых брусьев, балок, стержней их поперечные сечения, плоские до деформирования остаются плоскими и после деформирования.

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ Если допускать, что длина дуги b равна длине дуги a, то относительную линейную деформацию волокон, вызванную изгибом балки, можно вычислить по упрощенной формуле: Кривизна нейтральных волокон k изогнутой балки на ее предельно коротком фрагменте dx равна: а в условиях гипотезы малости деформаций : а так как, то

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ Таким образом, линейная деформация волокон, расположенных на расстоянии y от нейтрального слоя в некотором ее сечении, может быть вычислена по формуле:. Так как балки при их небольшом изгибе фактически не меняют своей толщины, то каждое продольное волокно предельно малой толщины находится в условиях «одноосного» растяжения-сжатия и для вычисления величины нормального напряжения в продольном волокне можно использовать закон Гука:

З АДАЧА ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ Внутреннее продольное усилие вычисляется как сила, равнодействующая нормальному напряжению, распределенному по поперечному сечению этого волокна: где dF – площадь поперечного сечения волокна. Так как центр тяжести каждого сечения лежит на нулевой линии, то так как в нашей задаче нет нагрузки, которая растягивала или сжимала бы балку, то суммарное продольное внутреннее усилие равно 0:

З АПИСЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Итак, в любом сечении балки, т.е. при любом :

З АПИСЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ При малых деформациях, когда значения перемещений точек деформируемого элемента существенно малы по сравнению с его размерами, можно принять И тогда наше уравнение сводится к приближенному уравнению оси изогнутого бруса.

З АПИСЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Единственное положение линии прогибов изгибаемой балки можно установить, учтя вместе с представленной выше закономерностью дополнительные сведения о том, как эта балка в пространстве закреплена. Эти сведения формулируются в виде т.н. краевых условий.

З АПИСЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Для жестко закрепленной в левом торце консоли запись граничных условий принимает вид: где – угол наклона оси изгибаемой балки.

П РОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ОБ ИЗГИБЕ КОНСОЛИ Далее рассмотрим задачу об изгибе консоли под действием одной сосредоточенной поперечной внешней силы P. Изгибающий момент, создаваемый внешней силой P в произвольном сечении K, может быть вычислен по формуле: Эту формулу удобно переписать с участием функции Хевисайда: где

П РОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ОБ ИЗГИБЕ КОНСОЛИ Простейшей задачей об изгибе консоли является задача изгиба консоли под действием одной сосредоточенной поперечной внешней силы. Математическая модель для нее будет следующей:

П РОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ОБ ИЗГИБЕ КОНСОЛИ Предложенную выше задачу можно решить аналитически, а можно при помощи метода конечных разностей. При решении методом конечных разностей мы заменим на f, заменим на, на, после чего выразим и задача преобразуется в следующую:

П РОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ОБ ИЗГИБЕ КОНСОЛИ Зададим шаг разбиения h и, заменив производную на ее конечно-разностный аналог, будем рассматривать решение в точках с координатами : Этим уравнениям соответствуют рекуррентные формулы пересчета по методу Эйлера:

П ОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ Рассмотрим простейшую задачу Коши вида: где В этом случае известно аналитическое решение из которого видно, что Разностная формула метода Эйлера имеет вид: Из нее следует, что

П ОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ Обозначим тогда При этом очевидно, что только при что соответствует Последнее неравенство называется условием устойчивости счета.

П РИМЕР В качестве примера решим следующую задачу:

П РИМЕР Решив эту задачу, мы получим следующий график деформации данной консоли:

З АКЛЮЧЕНИЕ Задача Коши охватывает достаточно широкий спектр задач, связанных с временными процессами, таких как например распределение температуры или колебание конструкции, и разработка разнообразных приемов для ее решения играет определенную роль в решении строительных проблем.