Основы Математической Логики Православный Свято-Тихоновский Гуманитарный Университет Богословский Факультет Москва 2005

Логика – наука о законах мышления. Отцом «Формальной логики» считают Аристотеля, др.греч. Философа, который впервые сформулировал ее законы. На базе обычного естественного языка. Но для аналитических наук этот язык не подходит. Отцом «Формальной логики» считают Аристотеля, др.греч. Философа, который впервые сформулировал ее законы. На базе обычного естественного языка. Но для аналитических наук этот язык не подходит. Немецкий философ и математик Лейбниц мечтал, чтобыошибочность умозаключений можно было увидеть глазами, а при разногласиях достаточно было бы только сказать Вычислим!, чтобы ясно было кто прав. Немецкий философ и математик Лейбниц мечтал, чтобыошибочность умозаключений можно было увидеть глазами, а при разногласиях достаточно было бы только сказать Вычислим!, чтобы ясно было кто прав. Английские математики Дж. Буль и Де Морган разработали методику перевода человеческих рассуждений на строгий и точный язык математики и обосновали способы исследования их структуры. Таким образом появилась математическая логика. Английские математики Дж. Буль и Де Морган разработали методику перевода человеческих рассуждений на строгий и точный язык математики и обосновали способы исследования их структуры. Таким образом появилась математическая логика.

1. Высказывания и высказывательные формы Высказывание – любое повествовательное предложение, которому можно приписать истинностное значение. Фразу нельзя считать высказыванием, если нет единого мнения о том, истинна ли она или ложна. Примеры: Когда предложение содержит неконкретную информацию, нужно дополнить сведения: Он изучает латинский язык.Он изучает латинский язык. Это произошло в Москве.Это произошло в Москве. Выделив неизвестное: Он = человек X Это = событие Y

человек X изучает латинский язык.человек X изучает латинский язык. событие Y произошло в Москве.событие Y произошло в Москве. При подстановке имени (X) и события (Y) мы можем говорить об истинности или ложности фразы. Предложение, которое имеет хотя бы одну переменную, при подстановке которой оно становится высказыванием называется Высказывательной Формой. Высказывания и высказывательные формы (продолжение).

2. Логические операции. Высказывания ЭлементарныеСоставные (A,B,C…X,Y,Z) пропозиционазьные переменные и, или, если, то, не – логические сводки

Логические операции Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция XX ИЛ ЛИ XY XлYXлYXлYXлYИИИ ЛЛЛ ЛИЛ ИЛЛ XYXvYИИИ ИЛИ ЛИИ ЛЛЛ XY XY ИИИ ЛЛИ ИЛЛ ЛИЛ XY ИИИ ИЛЛ ЛИЛ ЛЛИ Свято-Тихоновский университет готовит богословов. Отрицание: Неверно, что Свято- Тихоновский университет готовит богословов Сегодня экзамен, а я его сдал досрочно. Число 2 – четное или простое. Если курение полезно, то крокодилы летают Студент сможет говорить на английском тогда, и только тогда, когда изучит правила употребления времен.

3. Булевы Функции. Всякую формулу логики можно рассматривать, как некоторую функцию: каждое высказывание может принимать значение Истина или значение Ложь. (AB) CV(BлA)= f(A,B,C) Булевы Функции Тождественно истинныеТождественно ложные При любых X и Y истинно: XV X или X(YX) При любых значениях аргументов имеют значениеложь Xл X или (X(YX))(Yл Y)

4. Методы доказательств. Доказательство – Последовательностьвысказываний рассматриваемой теории, каждое из которых является либо аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода. Доказательство – Последовательностьвысказываний рассматриваемой теории, каждое из которых является либо аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода. Каждая теорема может формально выражаться как импликация: Каждая теорема может формально выражаться как импликация: AB Где А – условие теоремы (посылка) B – заключение (следствие) Если выражающая теорему импликация истинна, то теорема верна. Если выражающая теорему импликация истинна, то теорема верна. Некоторые импликации легли в основу методов доказательств. Некоторые импликации легли в основу методов доказательств.

Методы доказательств Из посылки А выстраивается цепочка из n импликаций, последним высказыванием которой является заключение B, т.е AA 1A 2…A n-1B В основе этого метода лежит закон ценного высказывания (AB)л(BC)(AC) Вместо прямого следствия доказывают, что из не B следует не A Метод основан на законе контропозиций: (AB ) ( B A) Чтобы имело место A, необходимо и достаточно, чтобы имело место BЧтобы имело место A, необходимо и достаточно, чтобы имело место B В необходимо для A:В необходимо для A: Т.е если имеет место А, то справедливо B В достаточно для А:В достаточно для А: Т.е если имеет место B, то имеет место A Доказательство по закону тавтологии: (P Q)((PQ)л(QP)) цепочек импликацийот противногонеобходимого и достаточного

Список использованной литературы: 1. Воронов М.В Математика для студентов гумунитарных факультетов – Ростов. Феникс, Ганичева А.В, Козлов В.П Математика для психологов – Москва. Аспект-пресс, Материалы лекций Буянова С.В, прочитанные по курсу математики в ПСТГУ.

Работу подготовили: Студенты 1 курса Дневного отделения Богословского факультета 112 группы Быков Денис Курылев Алексей