Квадратичная функция 9 класс МОУ СОШ 4 Заполярный, 2008.

Квадратичная функция Определение Определение Определение График График График Свойства функции Свойства функции Свойства функции Свойства функции График и свойства функции у = ах 2 График и свойства функции у = ах 2 График и свойства функции у = ах 2 График и свойства функции у = ах 2 Сдвиг графика у = ах 2 Сдвиг графика у = ах 2 Сдвиг графика у = ах 2 Сдвиг графика у = ах 2 Способы построения параболы Способы построения параболы Способы построения параболы Способы построения параболы Квадратичная функция в заданиях ГИА Квадратичная функция в заданиях ГИА Квадратичная функция в заданиях ГИА Квадратичная функция в заданиях ГИА Примеры и комментарии Примеры и комментарии Примеры и комментарии Примеры и комментарии Задания ГИА Задания ГИА Задания ГИА Задания ГИА Резюме

Квадратичная функция Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y = ax 2 + bx + c, где a, b и с - некоторые числа, причём а 0. y = ax 2 + bx + c, где a, b и с - некоторые числа, причём а 0. График любой квадратичной функции – парабола.парабола.

График функции y x a > 0 D > 0 y x a > 0 D = 0 y x a > 0 D < 0 y x a < 0 D > 0 y x a < 0 D = 0 y x a < 0 D < 0

График y = ax 2 + bx + c, y = ax 2 + bx + c, D = b 2 – 4ac - дискриминант D = b 2 – 4ac - дискриминант M(x 0,y 0 ) – вершина параболы: M(x 0,y 0 ) – вершина параболы: Уравнение параболы, проходящей через точку M: Уравнение параболы, проходящей через точку M: y = a(x – x 0 ) 2 + y 0 y = a(x – x 0 ) 2 + y 0 x 1, x 2 – корни параболы: x 1, x 2 – корни параболы: ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 y x x0x0 x1x1 x2x2 y0y0 M

Свойства функции Свойства функции 1. Нули функции: y=0 (пересечения с осью Ох) 1. Нули функции: y=0 (пересечения с осью Ох) 2.Точки пересечения с осью Оy 2.Точки пересечения с осью Оy 3.Возрастание функции( если X 2 >X 1, то f (X 2 )>f (X 1 )): 3.Возрастание функции( если X 2 >X 1, то f (X 2 )>f (X 1 )): с возрастанием аргумента увеличивается значение функции. Убывание функции( если X 2 >X 1, то f (X 2 ) X 1, то f (X 2 )0 и f (x) 0 и f (x)

Функция y=x 2 Построим график функции y=x 2 x y = x2y = x у0 х у0 х

Функция y=ax 2 Построим график функции y=2x 2 x y = 2x2y = 2x x y = 2x2y = 2x а>0а>0 а0 Построим график функции y=-2x 2 у=-2х 2 х у х у у=2х 2

График и свойства функции y=ax 2 Графиком функции y=ax 2, где a0, y=ax 2y=ax 2 является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось y; при a>0 при a>0 ветви параболы направлены вверх, при a>0 при a

Свойства квадратичной функции Свойства квадратичной функции При a>0 При a>0 ветви параболы направлены вверх При a

Свойства у = ах 2 при а > 0 y x y = x2y = x2 y = 2x 2 y = 0,5x 2 1. Д (у) = R 2. Е (у)= [0; + ) 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке [0; + ) 5. Убывает на промежутке (-; 0] 6. Наименьшее значение равное 0 при х = 0

Свойства у = ах 2 при а < 0 x y = - x 2 y = - 2x 2 y = - 0,5x 2 y 1. Д (у) = R 2. Е (у)= (-; 0] 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке (-; 0] 5. Убывает на промежутке [0; + ) 6. Наибольшее значение равное 0 при х = 0

Сдвиг графика функции y = ax 2 вдоль осей координат 1. Чтобы построить график функции y = ax 2 + g, нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси на g единиц вверх, если g > 0, или на | g | единиц вниз, если g 0, или на | g | единиц вниз, если g < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (0; g).y = ax 2 + g y = ax 2 + g 2. Чтобы построить график функции y = a(x + p) 2, нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если p > 0, или на | p | единиц вправо, если p 0, или на | p | единиц вправо, если p < 0.При этом вершина параболы окажется в точке (- p ; 0).y = a(x + p) 2y = a(x + p) 2 3. Чтобы построить график функции y = a(x + p ) 2 + g, нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если p >0, или на | p | единиц вправо, если p 0, или на | g | единиц вниз, если g 0, или на | p | единиц вправо, если p 0, или на | g | единиц вниз, если g < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (- p ; g ).

Функция у = ах 2 + g 1) g > 0 2) g < 0 Данный график получается смещением параболы у = ах² по оси Оу на g единиц вверх (если g > 0) или вниз (если g < 0)

Функция у = а(х – р)² 1) р > 0 2) р < 0 График получается смещением параболы у = ах² по оси Ох на р единиц вправо (если р > 0) или влево (если р < 0)

Способы построения графика квадратичной функции 1 СПОСОБ 1 СПОСОБ 2 СПОСОБ 2 СПОСОБ 3 СПОСОБ 3 СПОСОБ Пример 1Пример 2 Пример 4 Пример 3 Схема Пример 5

1 СПОСОБ. Схема построения графика квадратичной функции y=ax 2 -bx+c : Построить вершину параболы. Построить вершину параболы. Провести через вершину параболы прямую, Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. параболы. Найти нули функции, если они есть, и построить Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. на оси абсцисс соответствующие точки параболы. Построить дополнительные точки. Построить дополнительные точки. Провести через построенные точки параболу. Провести через построенные точки параболу.

2 СПОСОБ. Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трёхчлена ax 2 -bx+c.

3 СПОСОБ. y=a(x-m) 2 + n График функции y=a(x-m) 2 +n получается сдвигом графика функции y=ax 2 на m единичных отрезков по оси Ох и на n единичных отрезков по оси Оу.

Схема построения параболы: х у у = х 2 – 4х + 3 Найти координаты Найти координаты вершины параболы: М(2;-1). вершины параболы: М(2;-1). Провести ось симметрии: х = 2. Провести ось симметрии: х = 2. Найти нули функции при у = 0: Найти нули функции при у = 0: (1;0) и (3;0) (1;0) и (3;0) Найти дополнительные точки: Найти дополнительные точки: при х=0, у=3; при х=4, у=3. при х=0, у=3; при х=4, у=3. Соединить полученные точки. Соединить полученные точки.

Пример 1 y = 3x x + 9 Графиком функции является парабола, ветви параболы направлены вверх, т.к. а = 3, a>0. M(x 0 ;y 0 )- вершина параболы x 0 = ; x 0 = -12 : 6 = -2 y 0 = 3(-2) 2 +12(-2)+9 = -3. M(-2;3) Прямая х = -2 – ось симметрии Нули функции: y=0 3x 2 +12x+9 = 0 x 2 +4x+3 = 0 x 1 = -1, x 2 = у x x y90 2а2а2а2а -b-b-b-b

Пример 2 y = ¼ x 2 + 2x – 5 Графиком функции является парабола, ветви параболы направлены вверх, т.к. а = ¼, a>0. M(x 0 ;y 0 )- вершина параболы x 0 = ; x 0 = -2 : ½ = -4 y 0 = ¼ (-4) 2 +2(-4)-5 = -9. M(-4;-9) Прямая х = -4 – ось симметрии Нули функции: y=0 ¼ x 2 + 2x – 5 = 0 x 2 + 8x – 20 = 0 x 1 = -10, x 2 = 2 x0-2 y у -b-b2а2а-b-b2а2а x

Пример 3 Построим график функции y=x 2 -4x+5. 1) Найдём точки графика, имеющие ординату, равную 5. Для этого решаем уравнение x 2 – 4x + 5 = 5. Получаем: х 1 = 0, х 2 = 4 1) Найдём точки графика, имеющие ординату, равную 5. Для этого решаем уравнение x 2 – 4x + 5 = 5. Получаем: х 1 = 0, х 2 = 4 2) Точки А (0; 5) и В (4; 5) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату. Эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы, поэтому ось симметрии проходит через середину отрезка АВ. Т.к. абсцисса точки А равна 0, а т. В равна четырём, то уравнение оси параболы х = 2. 2) Точки А (0; 5) и В (4; 5) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату. Эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы, поэтому ось симметрии проходит через середину отрезка АВ. Т.к. абсцисса точки А равна 0, а т. В равна четырём, то уравнение оси параболы х = 2. 3) Подставим значение х в уравнение. Получаем координаты вершины параболы: х 0 = 2, у 0 = 1. 3) Подставим значение х в уравнение. Получаем координаты вершины параболы: х 0 = 2, у 0 = 1. 4) Отмечаем на координатной плоскости т. С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки А, В, С. 4) Отмечаем на координатной плоскости т. С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки А, В, С. у=х 2 -4х+5 АВ С 0х 5 у

Пример 4 Построим график функции y=2(x+1) Будем действовать следующим образом: 1)Построим параболу y=2x 2 ; 2)Перенесем ее на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз – в результате получится график заданной функции y=2(x+1) (см.рис) Действия, которые мы выполнили для построения графика, можно описать такой схемой: y=2x 2 y=2(x+1) 2 y=2(x+1) Влево на 1 ед. Вниз на 3 ед.

Пример 5 y=-2(x+3) 2 +2 m = -3 n = 2 у=-2х 2 х 12 у АВ М 0х-3 у 2 у = -2(x+3) 2 +2