Здравствуйте! Данный урок посвящён рациональным уравнениям. § 21. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Цели урока: выработать алгоритм решения рациональных уравнений; формировать умение решать рациональные уравнения. повторить понятие алгебраической дроби; Здравствуйте! Данный урок посвящён рациональным уравнениям. § 21. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Цели урока: выработать алгоритм решения рациональных уравнений; формировать умение решать рациональные уравнения. повторить понятие алгебраической дроби;
Для лучшего усвоения темы вам необходимо повторить предыдущий материал. I. Самостоятельная работа. Решить уравнения: 1)х 2 -4х+4 = 0; 2)-25 = 10х + х 2 ; 3)-Зх 2 =4х; Для лучшего усвоения темы вам необходимо повторить предыдущий материал. I. Самостоятельная работа. Решить уравнения: 1)х 2 -4х+4 = 0; 2)-25 = 10х + х 2 ; 3)-Зх 2 =4х;
Проверь себя: 1)D=0, Х 1,2 = 2 2) D=0, Х 1,2 = -5 3)Х 1 = 0, Х 2 = -1 Примечание: Уравнение 3 неполное, D- находить не надо. Проверь себя: 1)D=0, Х 1,2 = 2 2) D=0, Х 1,2 = -5 3)Х 1 = 0, Х 2 = -1 Примечание: Уравнение 3 неполное, D- находить не надо.
II.Объяснение нового материала. Напомним: Из этого следует, что алгебраическая дробь в знаменателе должна содержать переменную (буквенное выражение): Значение переменной, при котором знаменатель обращается в 0, является недопустимым значением. (Учебник, §1) ; х 0
Решение: Домножим уравнение на число 15: Решение: Домножим уравнение на число 15: Решить равнение:
Сократим: 3(3х+1)+5(2х-1)=7х+3 Откроем скобки: 9х+3+10х-5-7х-3=0 Преобразуем: 12х=5 Х=5/12 Ответ: 5/12
Сначала вспомним, что такое рациональное выражение Рациональное выражение это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Если r (х) рациональное выражение, то уравнение r (х) =0 называют рациональным уравнением. Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: уравнение вида h (х) = g (х), где h (х) и g (х) - рациональные выражения. До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейному, но и к квадратному уравнению. Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример 1. Решить уравнение Решение: Перепишем уравнение в виде При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразование левой части уравнения. Имеем: Таким образом, мы преобразовали заданное уравнение к виду:
Вспомним условия равенства дроби нулю: - тогда, и только тогда, когда одновре-менно выполняются два соотношения: 1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля (b 0) Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим 3(5х 2 – 13х + 6) = 0; 5х 2 – 13х + 6 = 0; Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение b 0 означает для уравнения (1), что 2х (х - 3) 0, т. е. х 0, х3. Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения. Ответ: 2; 0,6 Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают. Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение b 0 означает для уравнения (1), что 2х (х - 3) 0, т. е. х 0, х3. Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения. Ответ: 2; 0,6 Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают. Х
Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм. Алгоритм решения рационального уравнения (запиши в рабочую тетрадь) 1.Перенести все члены уравнения в одну часть. 2.Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби 3. Решить уравнение р(х) = Для каждого корня уравнения р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(х) 0 или нет. Если да, то это -корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.
III. Закрепление нового материала. Задание1. (устно) Какие из чисел 2, 5, - 3, 1 не могут являться корнями уравнения: б) в) а)а)
Проверь себя: А) Не могут являться корнями уравнения: 2, (х-2 0) Б) Не могут являться корнями уравнения: -3, (х+3 0) В) Не могут являться корнями уравнения: 5 и -3, (х 2 -2х-15 0) Проверь себя: А) Не могут являться корнями уравнения: 2, (х-2 0) Б) Не могут являться корнями уравнения: -3, (х+3 0) В) Не могут являться корнями уравнения: 5 и -3, (х 2 -2х-15 0) Задание 2. (письменно) Решить уравнение:
Проверь себя: Решение: Будем действовать в соответствии с алгоритмом. 1) Преобразуем уравнение к виду 2) Выполним преобразования левой части этого уравнения: (одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе дроби) Таким образом, заданное уравнение принимает вид:
3) Решим уравнение х 2 - 6х + 8 = 0. Находим х,, х 4) Для найденных значений проверим выполнение условия 2х(х - 2) 0. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2-нет. Значит, 4 корень заданного уравнения, а 2 посторонний корень. Ответ : 4, х