Расстояние от точки до плоскости Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С – 2 методом координат.

Расстояние от точки до плоскости Расстояние между точками и выражается формулой Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0, может быть вычислено по формуле: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Расстояние между параллельными плоскостями Расстояние между параллельными плоскостями и вычисляется по формуле: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми равно: 1. Расстоянию от любой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, параллельной этой прямой и содержащей другую прямую. D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 х у z Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно: 2. Расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 M К Расстояние между скрещивающимися прямыми Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 1. Дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Точки М и N – середины ребер CD и СС 1 соответственно. Найти расстояние между прямыми AN и ВМ. x B1B1 A C D1D1 A1A1 D С1С1 B y z N M Решение. Введем систему координат. D (0;0;0), A (1;0;0), C (0;1;0), C 1 (0;1;1), N (0;1;0,5), B (1;1;0), M (0;0,5;0). Составим уравнение плоскости α, проходящей через точки В и М параллельно прямой АN. Уравнение плоскости α: 2х + у +2z + D =0. 2x + y + 2z – 3 = 0. Расстояние от А до α - это расстояние между AN и ВМ: Расстояние между скрещивающимися прямыми Ответ:. Подбираем любые коэффициенты, удовлетворяющие уравнению, т.к. длина нормали может быть любой. - нормаль к плоскости α Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Решение: х у z Задача 2. В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми АВ 1 и BD. 1. Через прямую АВ 1 проведем плоскость (АВ 1 D 1 ) параллельную прямой BD. Расстояние между скрещивающимися прямыми АВ 1 и BD равно расстоянию от произвольной точки прямой BD до плоскости (АВ 1 D 1 ). 2. Введем прямоугольную систему координат и найдем координаты точек: Расстояние между скрещивающимися прямыми Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Решение: х у z Задача 2. В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми АВ 1 и BD. 3. Составим уравнение плоскости (АВ 1 D 1 ): 4. Расстояние от точки В до плоскости (АB 1 D 1 ) вычислим по формуле: Ответ:. Расстояние между скрещивающимися прямыми Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 3. Основание призмы ABCA 1 B 1 C 1 равнобедренный треугольник ABC, основание AC и высота BD которого равны 4. Боковое ребро призмы равно 2. Через середину K отрезка B 1 С проведена плоскость, перпендикулярная этому отрезку. Найти расстояние от вершины А до этой плоскости. Решение. 1. Выберем систему координат и выпишем координаты вершин данной призмы и точки K в этой системе координат: 2. Так как плоскость проходит через точку К(2;1;1) и перпендикулярна вектору То её уравнение имеет вид: Расстояние между скрещивающимися прямыми Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 3. Основание призмы ABCA 1 B 1 C 1 равнобедренный треугольник ABC, основание AC и высота BD которого равны 4. Боковое ребро призмы равно 2. Через середину K отрезка B 1 С проведена плоскость, перпендикулярная этому отрезку. Найти расстояние от вершины А до этой плоскости. Решение. 3. А (0;-2;0) уравнение плоскости: Расстояние между скрещивающимися прямыми Ответ:. Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 4. Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника АВС и АВS с катетами 42 расположены в перпендикулярных плоскостях и имеют общую гипотенузу. Точки D, Е, F, H, O – середины ребер SA, SB, ВC, АС и АВ соответственно. Найти объем пирамиды ODEFH. Решение. Введем систему координат с началом в точке О - середине гипотенузы. Ось абсцисс проходит через вершину С, ось ординат – совпадает с прямой АВ, ось аппликат – через S. Тогда О(0;0;0), А( 0; - 4;0), В(0;4;0), С(4;0; 0), S(0;0;4), D(0; - 2;2), Е(0;2;2), F (2; 2; 0), H (2;-2;0). Уравнение плоскости (DEF): x + z - 2 = 0. Высота пирамиды равна расстоянию от O до плоскости (DEF). A B C S O x y z D E F H DEFH – прямоугольник. DE = 4; EF =2 2 Расстояние от точки до плоскости Ответ:. Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985