Николаенко Артем, 7-а класс, гимназия 16

Евклид: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.» (Κα ν ε ς δύο ε θείας ε θε α μπίπτουσα τ ς ντ ς κα π τ α τ μέρη γωνίας δύο ρθ ν λάσσονας ποι, κβαλλομένας τ ς δύο ε θείας π' πειρον συμπίπτειν, φ' μέρη ε σ ν α τ ν δύο ρθ ν λάσσονες.) Некоторым может быть и не известна эта формулировка. В большинстве школьных учебниках используется другая формулировка, представленная Проклом: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Решением этой проблемы занимались многие математики, в том числе: Посидоний (I в. до н. э.), Птолемей (III в. до н. э.), Прокл (410 – 475 гг), Насир- Эддин (1201 – 1274 гг.), Д. Валлис (1616 – 1703 гг.), Ламберт (1728 – 1777 гг.), Лежандр (1752 – 1833 гг.), Гаусс (1777 – 1855 гг.), И. Больяи (1802 – 1860 гг.). Все они неизменно оканчивались неудачей. Авторы доказательств в своих рассуждениях использовали явным или скрытым образом наглядно очевидные предложения, которые при тщательном анализе оказывались предложениями эквивалентными самому постулату. Решением этой проблемы занимались многие математики, в том числе: Посидоний (I в. до н. э.), Птолемей (III в. до н. э.), Прокл (410 – 475 гг), Насир- Эддин (1201 – 1274 гг.), Д. Валлис (1616 – 1703 гг.), Ламберт (1728 – 1777 гг.), Лежандр (1752 – 1833 гг.), Гаусс (1777 – 1855 гг.), И. Больяи (1802 – 1860 гг.). Все они неизменно оканчивались неудачей. Авторы доказательств в своих рассуждениях использовали явным или скрытым образом наглядно очевидные предложения, которые при тщательном анализе оказывались предложениями эквивалентными самому постулату.

Например, наиболее интересная попытка доказательства была предпринята итальянским математиком Джироламо Саккери (1667 – 1733 гг.) – священник, профессор университета. Он заменил V постулат Евклида его отрицанием и попытался вывести теорему, которая противоречила бы одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие показало бы, что его предположение ложно и V постулат можно вывести из остальных. В процессе поиска он получил теорему, которая противоречила ранее полученным результатом, и написал книгу «Евклид, избавленный от всех пятен». Однако впоследствии математики выяснили, что Саккери в действительности не пришел к противоречию, и вопрос по-прежнему остается открытым. Например, наиболее интересная попытка доказательства была предпринята итальянским математиком Джироламо Саккери (1667 – 1733 гг.) – священник, профессор университета. Он заменил V постулат Евклида его отрицанием и попытался вывести теорему, которая противоречила бы одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие показало бы, что его предположение ложно и V постулат можно вывести из остальных. В процессе поиска он получил теорему, которая противоречила ранее полученным результатом, и написал книгу «Евклид, избавленный от всех пятен». Однако впоследствии математики выяснили, что Саккери в действительности не пришел к противоречию, и вопрос по-прежнему остается открытым. Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них : Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них : Существует хотя бы один четырёхугольник, у которого все углы прямые. Существует хотя бы один четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Существуют подобные, но не равные треугольники. Существуют подобные, но не равные треугольники. Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Существует треугольник сколь угодно большой площади. Существует треугольник сколь угодно большой площади. Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую сближаются. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую сближаются. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Существуют такие прямые, что расстояние от точек одной до другой постоянно. Существуют такие прямые, что расстояние от точек одной до другой постоянно. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться. Сумма углов одинакова у всех треугольников. Сумма углов одинакова у всех треугольников. Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу. Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую. Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

Доказать непротиворечивость новой геометрии никто не сумел тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна и другие модели, реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом, и доказать его невозможно. Многовековая драма идей завершилась.

На самом деле довольно-таки легко. Он воспользовался аксиомой «Если прямая перпендикулярна к одной параллельной прямой, то она перпендикулярна и другой прямой», и «перпендикуляр к прямой можно провести только один», а раз так то, если провести параллельные прямые (a,b) и секущую(c), перпендикулярную к прямым, то через точку пересечения прямой и перпендикуляра(D) можно будет провести только одну прямую.