Лекция 6

СПЕКТРАЛЬНО- КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные свойства автокорреляционной функции стационарного случайного процесса Перечислим основные свойства автокорреляционной функции стационарного (в широком смысле) случайного процесса.

1. Автокорреляционная функция ССП является четной функцией, Это свойство вытекает из симметричности корреляционной функции. 2. Значение автокорреляционной функции при равно дисперсии ССП:

3. При значение автокорреляционной функции стремится к нулю, т.е. 4. Значение автокорреляционной функции ССП при всегда больше или равно ее значенью при, т.е., т.е.

Типичная кривая корреляционной функции ССП, иллюстрирующая перечисленные выше свойства этой функции, представлена на рисунке.

Асимптотическое приближение к нулю при не всегда происходит монотонно, могут быть случаи, когда значения корреляционной функции колеблются около нуля, приближаясь к нулю при увеличении.

Отношение называется нормированной корреляционной функцией ССП. Величину иногда называют коэффициентом корреляции ССП.

Функция обладает теми свойствами, что и автокорреляционная функция. Коэффициент корреляции является четной функцией аргумента. Максимальное значение соответствует. Выполняется неравенство и при любом значении причем при. при.

Для ССП всегда можно указать такое, что при случайные величины и для любого можно считать практически некоррелированными,т.е.. Величина называется интервалом корреляции и определяется либо долей от, либо половиной ширины основания прямоугольника единичной высоту площадь которого ровна площади под кривой коэффициента корреляции

В первом случае для определения решают уравнение: решают уравнение:

Во втором - для определения вычисляют интеграл

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Безынерционное нелинейное преобразование Случай безынерционного преобразования самый простой при исследовании нелинейных цепей. При этом сигнал на выходе цепи определяется значением входного сигнала в тот же момент времени

Здесь некоторая нелинейная функция

Для аппроксимации функции применяют разные методы. К наиболее употребительным относятся: полиномиальный, метод аппроксимации кусочно-ломанной характеристикой, трансцендентными функциями (экспонентой, синусоидой и т.д.).

Предположим, нам известна ПРВ случайной величины и нам надо найти ПРВ случайной величины в какой-то момент времени. Предположим снова, что существует однозначная обратная функция. Это справедливо, если - монотонно возрастающая или убывающая функция. Будем при этом исходить из того, что, если величина находится в интервале то величина обязательно будет в интервале, где

Нелинейное преобразование примерно постоянна

Тогда равны и вероятности этих двух событии: В этом случае предполагаем, что интервалы и малы и ПРВ в них примерно постоянно. Переходя к пределу, получаем: или

Поскольку плотность вероятности – величина положительная, а в случае убывающей функции производная будет отрицательна, то в формулу надо поставить модуль производной. Таким образом,

Более сложным является случай, когда зависимость не является монотонной функцией. В этом случае не существует однозначной обратной функции : каждому значению у соответствует несколько значений х.

Пусть будут две ветви функции и. и. В этом случае вероятность попадания на интервал равна сумме вероятностей попадания на интервалы и :

Выразив х через у, получим окончательное выражение: Если ветвей обратной функции много, то выражение примет вид: