Лекция 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ

Одним из важнейших практических приложений статистической радиотехники является возможность разработки алгоритмов обнаружения полезных сигналов на фоне помех, и оценить эффективность работы. Задача обнаружения сигналов состоит в принятии однозначного решения: либо сигнал есть (решение ), либо сигнала нет (решение ).

Эффективность работы алгоритмов обнаружения оценивается рядом характеристик, к числу которых относят зависимости вероятностей правильного обнаружения, ложной тревоги и пропуска сигнала от исходных данных задачи. Первая зависимость рассчитывается как функция отношения сигнал/помеха: где и - мощности (дисперсии) сигнала и помехи, а вторая – как функция мощности помехи при отсутствии сигнала.

Важнейшей характеристикой алгоритма обнаружения является его эффективность, оценивается пороговым сигналом. Пороговым сигналом называется то минимальное отношение сигнал/помеха по мощности, которое при фиксированном объеме выборки n и заданной вероятности ложной тревоги F обеспечивает требуемое значение вероятности правильного обнаружения D. Значения F, D и n определяются характером задач, в частности, в задачах радиолокационного обнаружения обычно стремятся обеспечить

Рассмотрим алгоритм обнаружения с накоплением отсчетов огибающей случайного процесса на примере задачи обнаружения флюктуирующего нормального сигнала на фоне нормального некоррелированного шума. Структурная схема обнаружения показана на рис.1

На вход детектора огибающей в отсутствие полезного сигнала ( ) поступает узкополосный случайный процесс, который представляет собой нормальный (гауссовский) шум с нулевым матожиданием и имеет плотность распределение вероятности вида: где - дисперсия (мощность) шума.

При наличии на входе, детектора полезного сигнала ( ) с нулевым матожиданием плотность распределения аддитивной смеси сигнала и шума также имеет нормальное распределение: (1) (1) где - дисперсия сигнала.

При выводе формулы (1) использована теорема сложения дисперсий: дисперсия суммы некоррелированных случайных величии равна сумме дисперсий слагаемых. Кроме того, известно что сумма нормальных процессов также распределена по нормальному закону. Распределение (1) удобно записать в виде где - отношение мощности сигнала к мощности помехи.

На выходе детектора выделяется огибавшая входного случайного процесса. Известно, что плотность распределения огибающей нормального случайного процесса при линейном детектировании описывается законом Релея: (2) (2) при отсутствии сигнала и (3) (3) при наличии сигнала.

Огибавшая случайного процесса поступает на дискретизатор по времени, на выходе которого формируются дискретные отсчеты амплитуды которых равны мгновенным значениям огибающей в моменты стробирования. Моменты взятая отсчетов огибающей определяются частотой дискретизации. Полученное отсчеты поступает на накопитель, осуществляющий суммирование текущих отсчетов. Выходное напряжение, накопителя в этом случае равно: (4) (4)

Накопленная сумма сравнивается с порогом решения. Если в результате сравнения значение суммы окажется больше то принимается решение о наличии сигнала ( ), в противном случав – альтернативное решение ( ), т.к. вид решения зависит от выполнения условия (5) (5)

Рассмотрим задачу оценки эффективности обнаружителя по схема рис. 1. Накопленная по выборке объемом сумма n (4) называется проверочной статистикой. Согласно центральной предельной теореме, если - это независимые случайные величины, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы этих величин приближается к нормальному. На практике при n>10 закон распределения суммы считается нормальным. При малых n распределение суммы подчиняется закону Эрланга.

На основании центральной предельной теоремы можно записать выражение для плотности распределения проверочной статистики (6) (6) В формуле (6) и - матожидание и дисперсия статистики : (7) (7)

и - матожидание и дисперсия дискретных релеевских отсчетов, равные и - матожидание и дисперсия дискретных релеевских отсчетов, равные (8) (8) при отсутствии сигнала и (9) (9) при наличии сигнала.

На рис. 2 показаны кривые распределения отсчетов огибающей процесса при отсутствии и при наличии сигнала

На рис. 3 - соответствующие кривые распределения проверочной статистики Z.

Для принятия решения S 1 о том, что на входе обнаружителя имеется полезный сигнал, необходимо, чтобы случайная величина Z превысила порог V p. Значение порога при обнаружение сигналов выбирают в соответствии с критерием Неймана-Пирсона так, чтобы вероятность превышения его статистикой Z в отсутствий сигнала была бы не более наперед заданной. Эта вероятность F называется вероятностью ложной тревоги (см.рис. 3) (10) (10)

Подставив формулу (6) а формулу (10), после упрощения получим где табулированные интеграл вероятности. При заданном значении вероятности ложной тревоги F значение порога решении V p может быть найдено с помощью таблиц из уравнения (11).

Вероятность D правильного обнаружения сигнала (см.рис.3) определяется выражением: равным с учетом формулы (6)

Значение зависит D от отношения сигнал/шум b. Характерис­тики обнаружения D(b) для различных объемов выборки и показаны на рис.4.

Из графиков видно, что заданная вероятность правильного обнаружения D зад при увеличении объема накопления n может быть достигнута при меньшем отношении сигнал/шум b. Другими словами, при заданном b увеличение n обеспечивает увеличение вероятности правильного обнаружения.

Рассмотрим алгоритм обнаружения с накоплением квадратов отсчетов огибающей случайного процесса. Структурная схема обнаружителя, реализующего алгоритм с накоплением квадратов отсчета огибающей случайного процесса, соответствует схеме рис. 1, однако накопитель вычисляет значение статистики Z не по формуле (4), а по формуле

Аналогично рассмотренной выше схеме принятия решения (см. формулу (2)) при выполнении условия принимается решение о наличии сигнала ( ), в противном случае, когда условие не выполняется, принимается решение вида.

Известно, что квадрат огибающей нормального случайного процесса (квадрат релеевской случайной величины) подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения, имевшему вид (через u обозначен квадрат случайной величины y, входящей в формулы (2), (3)):

с параметрами при отсутствии сигнала, и с параметрами

Задача оценки эффективности обнаружителя решается аналогично, при этом в формулу для расчета вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения необходимо подставить величины

Кривые распределения квадратов отсчетов огибающей процесса при отсутствии и наличии полезного сигнала показаны на рис. 5.

РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ

При различении сигналов имеет место многоальтернативная ситуация, когда полезный сигнал X может иметь много значений и приемное устройство должно определить, какое именно значение из этого множества имеет место в действительности. Различение многих сигналов в принципиальном отношении мало отличается. От случая обнаружения сигнала, т. е. случая различения двух сигналов. В соответствии с этим методы многоальтернативных решений являются обобщением соответствующих методов двухальтернативных решений.

Пусть сигнал X может иметь т возможных значений х 1,х 2,...,х т с априорными вероятностями р(х 1 ), р(х 2 ),…,p(х т ) соответственно

При этом пространство сигнала V разбивается на т. областей v 1,v 2,...,v m соответствующих принятию гипотез Н 1, Н 2,..., Н т о том, что X =х 1,X = х 2, …, X = х т соответственно. Правила принятия решений и разбивка пространства V на области v 1,v 2,...,v m могут производиться в соответствии с любым из кри­териев, рассмотренных для случая двухальтернативной ситуации и обобщенных на случай многоальтернативной ситуации.

Процедура работы решающего устройства приемника при разли­чении сигналов следующая. По данным выборки Y определяются функции правдоподобия L(х 1 )=w(Y/x 1 ), L(х 2 )=w(Y/x 2 ),...,L(x m ) = w (Y/x m ) и вычисляются отношения Для всех возможных сочетании пар x j и x i. Сравниваются полученные значения отношений правдоподобия с пороговым зна­ чением и выбирается такое значение сигнала х j для которого все (i= 1, 2,..., т).

Рассмотрим в качестве примера случай, когда используется критерий минимального риска. В случае многоальтернативной ситуации ошибки принятия решения заключается в том, что наблюдаемая выборка оказывается в области v k, в то время, как в действительности сигнал X имеет значение x j. Цена ошибочных решений учитывается путем введения весовых коэффициентов r jk. Для заданного значения сигнала x j средняя величина потерь за счет неправильных решений может быть оценена коэффициентом где условная вероятность попадания выборки Y в область v k, если в действительности сигнал X равен х j.

Величины r j носят название условного риска. Усредняя условный риск по всем возможным значениям X, получим средний риск Критерий минимального риска для случая многоальтернативной ситуации сводится к минимизации функции r = мин.

Рассуждая аналогично, можно показать, что реализация условия дает следующую систему т неравенств, обеспечивающих принятие гипотезы Н k, что X = х k

Cинтез структуры решающего устройства

Оптимальное решающее устройство должно строиться таким образом, чтобы оно могло вычислить функции правдоподобия L (X) и отношение правдоподобия с последующим сравнением его с некоторым пороговым значением. Следовательно, в первую очередь решающее устройство должно вычислять условные плотности вероятности f(Y/x i ). Очевидно, схема решающего устройства определяется в основном видом этой функции. Рассмотрим общий случай многоальтернативной ситуации, когда полезный сигнал X может принимать т значений.

Будем полагать помеху нормальной с нулевым математическим ожиданием и аддитивной. Следовательно, принимаемый сигнал у Для любого отсчетного значения принятого сигнала y i можно записать где отсчетные значения полезного сигнала; отсчетные значения помехи, распределенные по нормальному закону

Вектор помехи определяется многомерным законом распределения, где n объем выборки., где n объем выборки. Полагая помеху стационарной и отсчеты некоррелированными, можно многомерный закон распределения вектора помехи представить в виде

При взаимной независимости полезного сигнала и помехи функция определяется законом распределения помехи

Для принятия оптимального решения необходимо определить отношения правдоподобия