Ограниченность. 1. Ограниченность функции. Функция f(x) называется ограниченной на данном отрезке (a,b),если существует некоторые числа m и M такие, что m f(x) M при x є (a, b). Число m 0 = inf{f(x)} = max(m) при x є (a, b) называется нижней гранью функции f(x), а число M 0 = =sup{f(x)} = min(M) при x є (a, b) называется верхней гранью функции f(x) на данном промежутке (a, b). Разность M 0 – m 0 называется колебанием функции на промежутке (a, b).

Понятие окрестности 2) Понятие окрестности а) Интервал (a-h, a+h), h – радиус окрестности. Пример :а) h = ? б) б) Задание окрестности. Если же т. a удалить, т.е. выколоть, то получается роколотая окрестность. в) Некоторое свойство функции выполняется вблизи т. a, если есть хоть одна проколотая окрестность или: если это свойство выполняется во всех точках какой-то проколотой крестности, то это свойство выполняется вблизи точки a.

Предел функции в точке. Определение. Число b называется пределом функции f при, если для любого >0 вблизи точки a будет выполняться неравенство (1) или Число b – есть предел при, если существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется неравенство (1). Аналогично, рассматривается вопрос о пределах односторонних (при и при ), т.е. и. Пусть функция f(x)определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство: |f(x )- A |< ε.

Два замечательных предела. Критерий Коши. 1)два замечательных предела: 2)Критерий Коши: 1) 2) Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что |f(x' ) - f(x" )| < ε, как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).

Односторонние пределы. Бесконечный предел. 3. Односторонние пределы. Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a: Если |A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε). Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a: если |A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε). Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы f (a - 0) = f(a + 0). 4. Бесконечный предел. Условная запись обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство: |f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E).

Примеры, иллюстрирующие понятие предела в точке и на бесконечности.

Периодичность. Периоди́ческая фу́нкция функция, овторяющаясвои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).функция В общем случае, говоря о периодичести функции f,полагают, что имеется такое число T0, что область определения D(f) вместе с каждой точкой x содержит и точки, получающиеся из точки x параллельным переносом вдоль оси OX (вправо и влево) на расстояние T. Функцию f называют периодической с периодом T0, если для любого x из области определения значения этой функции в точках x; x-T; x+T равны, то есть f(x-T) = f(x) = f(x+T).

График периодической функции

Все тригонометрические функции являются периодическими. Графики тригонометрических функций: 1 синуса; 2 косинуса; 3 тангенса; 4 котангенса; 5 секанса; 6 косеканса