Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть X,Y – множества произвольной природы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если x X поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция (отображение) с множеством значений Y. Записывают: f: X Y, y = f(x) (где f – закон, осуществляющий соответствие) Называют: X – область (множество) определения функции x (x X) – аргумент (независимая переменная) Y – область (множество) значений y (y Y) – зависимая переменная (функция)

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ 1) словесный; 2) табличный; 3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)». 4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).

Классификация вещественных функций вещественного аргумента

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r (r ) 2) показательные: y = a x (a > 0, a 1) 3) логарифмические: y = log a x (a > 0, a 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение двух многочленов Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х и конечного числа композиций степенных функций с рациональным показателем.

Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции. Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

Основные характеристики поведения функции 1) Четность функции (четная, нечетная, общего вида); 2) Периодичность функции; 3) Монотонность функции (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая); 4) Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).

§ Предел функции Определение предела функции по Коши Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. U * (x 0, ) = U(x 0, ) \ {x 0 } – проколотая окрестность точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ (по Коши, на языке - ). Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x 0 (пределом функции f(x) в точке x 0 ), когда >0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то f(x) U(A, ).

Геометрическая интерпретация понятия предела функции x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x0+h2x0+h2 x0-h1x0-h1 A-ε A+ε

Свойства пределов 1)Если функция имеет предел при x x 0, то этот предел единственный. 2)Если функция f(x) имеет предел при x x 0, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 (говорят: функция локально ограничена).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция (x) называется бесконечно малой при x x 0, если 3) ЛЕММА (о роли бесконечно малых функций). Число A является пределом функции f(x) при x x 0 f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при x x 0. 4) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0, (x) – бесконечно малая при x x 0. Тогда f(x) (x) – бесконечно малая при x x 0.

5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x x 0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x x 0, причем Следствие свойства 5. Если f(x) имеет предел при x x 0, то c функция с f(x) тоже имеет предел при x x 0, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». Замечание. Свойство 5 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.

6) Пусть f(x) имеет предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) 0 (или f(x) > 0), x U * (x 0, ). Тогда 7) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x x 0 и >0 такое, что f(x) g(x) (или f(x) > g(x)), x U * (x 0, ). Тогда 8) ЛЕММА (о двух милиционерах). Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) (x) g(x), x U * (x 0, ). Тогда функция (x) тоже имеет предел при x x 0, причем

9)Пусть f: X Y, : Y Z и существуют пределы Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел при x x 0, причем Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе.

Предел последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если область значений последовательности – числовое множество, то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.

Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: x n, y n и т.д. Называют:x 1 – первый член последовательности, x 2 – второй член последовательности и т.д. x n – n-й (общий) член последовательности. Способы задания последовательностей: 1) явно (т.е. формулой x n = f(n) ) 2) рекуррентным соотношением (т.е. формулой x n = F(x n-1, x n-2,…, x n-k ) ) Записывают последовательность: { x 1, x 2, …, x n, …} – развернутая запись; { x n } – короткая запись (где x n – общий член последовательности).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a называется пределом последовательности { x n } если >0 N такое, что | x n – a | N. Записывают: Говорят: последовательность { x n } сходится (стремится) к a. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к числу a) Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r, M(r) Ox M(r) – геометрическая интерпретация числа r. Пусть x 0, >0. Интервал (x 0 – ; x 0 + ) называют -окрестностью точки x 0. (геометрическое определение -окрестности точки) Будем обозначать: U(x 0, ) Имеем:U(x 0, ) = {x : |x – x 0 | < } (алгебраическое определение -окрестности точки)

Из определения предела последовательности следует: если {x n } a, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой -окрестности точки a находятся все члены последовательности {x n }, за исключением, может быть, конечного числа членов этой последовательности. (Геометрическая интерпретация предела последовательности). a – точка «сгущения» последовательности { x n }.

Число А называется пределом последовательности {x n } при n, если Пишут: n xnxn Доказать: 1±1/7 n

Последовательность {x n } называется бесконечно малой, если то есть если n xnxn ε=0,2 ε=0,1 2ε2ε 2ε2ε

Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке - ). Функцию f(x) называют бесконечно большой при x x 0 (в точке x 0 ), если M>0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то | f(x) |>M. Говорят: «f(x) стремится к при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен ».

Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б. при x x 0 и f(x) 0, x U * (x 0, ). Тогда| f(x) | = f(x) >M, x U * (x 0, ) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к + при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен + ». 2) f(x) – б.б. при x x 0 и f(x) 0, x U * (x 0, ). Тогда| f(x) | = – f(x) > M f(x) < – M, x U * (x 0, ) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к – при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен – ».

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при x x 0, то функция 1/f(x) – б.м. при x x 0. Если (x) – б.м. при x x 0, то функция 1/ (x) – б.б. при x x 0. (связь бесконечно больших и бесконечно малых) 2) Если f(x) и g(x) – б.б функции одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б. того же знака. 3)Если f(x) – б.б при x x 0, g(x) – ограниченна в некоторой окрестности U * (x 0, ), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x x 0. 4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x x 0, то их произведение f(x) g(x) – тоже б.б. при x x 0.

5)Если f(x) – б.б. при x x 0, g(x) – имеет предел при x x 0, причем то их произведение f(x) g(x) – б.б. при x x 0. 6) Если f(x) – б.б. при x x 0 и x U * (x 0, ) имеет место неравенство| f(x) | < | g(x) | (| f(x) | | g(x) |), то функция g(x) тоже является б.б. при x x 0. 7) Пусть f(x) и g(x) – б.б. одного знака при x x 0 и >0 такое, чтоf(x) (x) g(x), x U * (x 0, ). Тогда функция (x) тоже является б.б. того же знака при x x 0. (лемма о двух милиционерах для б.б. функций)

Последовательность {x n } называется бесконечно большой, если Пишут: n xnxn x n =n 2 8 C=9 C=100 11

Определение. Последовательность {x n } называется - возрастающей, если для любого n x n < x n+1 ; обозначают () - неубывающей, если для любого n x n x n+1 ; () - убывающей, если для любого n x n > x n+1 ; () - невозрастающей, если для любого n x n x n+1 ; () Определение. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными Теорема Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности) Если последовательность {x n } монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{x n } ( inf {x n } ). Предел монотонной последовательности

Односторонние пределы. Условие существования (x 0 ). Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x 0 слева (в точке x 0 слева), если >0 >0 такое, чтоесли x удовлетворяет условию 0 < x 0 – x 0 >0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x – x 0

3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x 0 слева равен + (– ) (функция стремится к + (– ) при x, стремя- щемся к x 0 слева), если M>0 >0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x 0 – x M ( f(x) < –M). 4) Говорят, что предел функции f(x) в точке x 0 справа равен + (– ), если M>0 >0 такое, что, если x удовлетворяет условию0 < x – x 0 M ( f(x) < –M). Обозначают: – предел f(x) в точке x 0 слева, – предел f(x) в точке x 0 справа. Если x 0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x x 0 и x 0 ). Функция f(x) имеет предел (конечный) при x x 0 существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x x 0. При этом Замечание. Все свойства пределов и бесконечно больших остаются справедливыми и для односторонних пределов.

Определение предела функции символыопределениекартинкапример x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x y x0x0 2ε2ε 2δ2δ |2x+5-7|=2|x-1|

Определение предела функции (продолжение) символыопределениекартинкапример x y f(x) 1 x y 2ε2ε A C -C

Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два утверждения: – первый замечательный предел; – второй замечательный предел. СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА

СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной 1-й и 2-й замечательный пределы и их следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая б.м. функция (x).

Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции (x) и (x) – б.м. при x x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) (x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем (x) если Записывают: (x) = o( (x)). 2) (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка, если где С и C 0. Записывают: (x) = O( (x)). 3) (x) и (x) называются эквивалентными, если Записывают: (x) ~ (x).

4) (x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой (x), если бесконечно малые (x) и ( (x)) k имеют один порядок, т.е. если где С и C 0. ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные). Пусть (x), (x), 1 (x), 1 (x) – б.м. при x x 0. Если (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x), то ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой). Пусть (x) и (x) – б.м. при x x 0, причем (x) – б.м. более высокого порядка чем (x). Тогда (x) = (x) + (x) ~ (x). Б.м. (x) называют в этом случае главной частью бесконечно малой (x).

Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:

Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие при x x 0, то 1)f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка чем g(x) если 2)f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного порядка, если где С и C 0 ; 3)f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если 4)f(x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если где С и C 0.

ТЕОРЕМА (о замене бесконечно больших на эквивалентные). Пусть f(x), g(x), f 1 (x), g 1 (x) – б.б. при x x 0. Если f(x) ~ f 1 (x), g(x) ~ g 1 (x), то ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно большой). Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x x 0, причем g(x) – бесконечно большая более высокого порядка чем f(x). Тогда z(x) = f(x) + g(x) ~ g(x). Б.б. g(x) называют в этом случае главной частью бесконечно большой z(x).