Дополнительные метрические соотношения в треугольнике

ЛЕММА (о свойстве углов при точке пересечения биссектрис треугольника) Если О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то имеют место соотношения: B A C (1) (2) (3) O

Доказательство: B A C O 1) Докажем, к примеру, соотношение (1). 2) Т.к. О – центр вписанной в АВС окружности, то ВО и СО – биссектрисы углов В и С. 3) В треугольнике ВОС 4) Аналогично доказываются соотношения (2), (3).

Теорема 1 (о радиусе вписанной окружности) Радиус окружности, вписанной в треугольник, связан с его сторонами и углами следующими соотношениями:

Доказательство: А B C O 1) Пусть дан АВС с длинами сторон a, b, c и противолежащими углами α, β, γ соответственно; пусть r – радиус вписанной окружности с центром О. bc a r 2) Докажем, к примеру, что 3) Соединим точку О с вершинами треугольника АВС, тогда ВО и СО – биссектрисы соответствующих углов треугольника, т.е. OBC =, OCB =. 4) В силу леммы BОC = 90° + γ β

А B C O 5) В ВОС по теореме синусов имеем: D bc a r 6) Пусть D – точка касания вписанной окружности со стороной BC, тогда OD BC, OD = r. 7) В прямоугольном BOD, откуда, откуда 8) Аналогично доказываются два остальных соотношения. Доказательство:

Теорема 2 (о площади треугольника) Площадь треугольника АВС со сторонами a, b, c и радиусом описанной окружности R вычисляется по формулам: (1) (2)

Доказательство: А B C 1) Пусть дан АВС с длинами сторон a, b, c и радиусом R описанной вокруг него окружности. b c a 2) Докажем соотношения (1) и (2). 3) По теореме синусов откуда (3) 4) Кроме того,, откуда (4) 5) Т.к., то в силу (3) имеем а в силу (3) и (4) имеем

Для треугольника АВС справедливы соотношения:

Задача 1. В треугольнике АВС угол В равен 60°, радиус описанной окружности равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через вершины А и С и центр вписанного в треугольник АВС круга.

Задача 2. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, если два угла треугольника равны β и γ, а радиус описанной окружности равен R.

Задача 3. В треугольнике даны два угла α и β и радиус R описанной окружности. Найти высоту, проведенную из третьего угла треугольника.

Задача 4. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом 15° равна восьмой части квадрата гипотенузы.