Числовая функция Исторический очерк Выполнила ученица 10 «Б» Игнатова Анастасия

Появление понятия Математическое моделирование явлений и законов природы приводит к возникновению понятия функции, которое поначалу ограничивается алгебраическими функциями (многочленами) и тригонометрией. Как и остальные понятия математики, общее понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. Разумеется, и в древности при вычислениях люди неосознанно использовали различные функции (например, квадратный корень) и даже уравнения. Даже в XVII веке Непер, вводя в обиход логарифмическую функцию, использовал обходной путь определил её кинематически. Первоначально объектом исследования стали разнообразные алгебраические формулы. Декарт рассматривал неалгебраические зависимости только в виде редчайшего исключения. У него и у Ферма формула понимается не просто как вычислительный алгоритм, но рассматривается как (геометрически представимое) преобразование одной непрерывно меняющейся величины в другую. Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции как целостного объекта. В геометрическом и механическом виде понятие функции мы находим и у Ньютона. Математический термин «функция» впервые появился в 1673 году у Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании: Лейбниц вначале называл функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). Позже, однако, в переписке с Иоганном Бернулли содержание термина расширяется и в конце концов становится синонимом «аналитически заданной зависимости».

Первые попытки определения В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном, Эйлеру были уточнены их определения. Эйлер впервые ясно определил показательную функцию, а также логарифмическую как обратную к ней, и дал их разложения в ряд. До Эйлера многие математики считали, например, тангенс тупого угла положительным; Эйлер дал современные определения всех тригонометрических функций (сам термин «тригонометрическая функция» предложил Клюгель в 1770 году). В 1757 году Винченцо Риккати, исследуя секторы гиперболы, вводит гиперболические функции и перечисляет их основные свойства. Эйлер определил интегральный логарифм. Л. Маскерони интегральные синус и косинус. Вскоре появляется и новый раздел математики: специальные функции. С этим пёстрым собранием надо было что-то делать, и математики приняли радикальное решение: все функции, независимо от их происхождения, были объявлены равноправными. Единственное требование, предъявляемое к функции определённость, причём имеется в виду не однозначность самой функции (она может быть и многозначной), а недвусмысленность способа вычисления её значений.

Первое общее определение функции встречается у Иоганна Бернулли : «Функция это величина, составленная из переменной и постоянной». Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Бернулли. В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Начиная с «Дифференциального исчисления», Эйлер фактически принимает современное определение числовой функции как произвольного соответствия чисел: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.» Эйлер Бернулли

Общее определение С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних» независимо от того, известен или неизвестен способ вычисления её значений В «Аналитической теории тепла» Фурье имеется фраза: «Функция f(x) совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям X, содержащимся между 0 и какой-либо величиной X». Близко к современному и определение Лобачевского: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией называли число, которое даётся для каждого и вместе постепенно изменяется. Значение функции может быть дано аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе».