ПЛАНИМЕТРИЯ Геометрия 7 – г МОУ – открытая (сменная) общеобразовательная школа 1 г. Искитима Автор: Фельзинг Ольга Ивановна Учитель математики (I категория)

Содержание : Что такое планиметрия Что такое планиметрия Основные фигуры Основные фигуры Свойства основных фигур Свойства основных фигур Взаимное расположение фигур Взаимное расположение фигур Треугольники Четырехугольники Многоугольники Окружность Равенство фигур Равенство фигур Подобие фигур Подобие фигур Площади фигур Площади фигур Векторы Метод координат Метод координат Движение Подведем итог Подведем итог

Геометрия на плоскости Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры и их свойства на плоскости, называется планиметрия.

Структура планиметрии Основные фигуры Аксиомы Взаимное расположение фигур Треугольники Четырехугольники Многоугольники Окружность Равенство фигур Подобие фигур Площади фигур Движение Векторы Метод координат

Основные фигуры планиметрии

Свойства основных фигур Свойства основных фигур сформулированы в утверждениях, которые мы принимаем без доказательства. Утверждение такого рода называется « АКСИОМА ». АКСИОМА ( от греческого « аксиос ») означает « утверждение, не вызывающее сомнений »

АКСИОМЫ планиметрии A p E F AI A B C AII AIII AIV AV B b

АКСИОМЫ планиметрии A B A.VI a b O A.VII A B C A1A1 B1B1 C1C1 A.VIII a b C A.IX

Взаимное расположение фигур

Треугольник Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки Точки А, В, С – вершины Отрезки АВ, АС, ВС - стороны

Виды треугольников

Элементы треугольника медиана высота биссектриса В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Прямоугольный треугольник Теорема Пифагора Соотношения между углами и сторонами

Общее решение треугольника

Четырехугольник Фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков.

Выпуклые четырехугольники параллелограммы трапеция

Свойства четырехугольников Диагонали в точке пересечения делятся пополам Противолежащие стороны равны Противолежащие углы равны Сумма углов равна 360º

Свойства четырехугольников Все свойства параллелограмма Диагонали равныДиагонали равны

Свойства четырехугольников Все свойства параллелограмма Диагонали перпендикулярныДиагонали перпендикулярны Диагонали являются биссектрисами угловДиагонали являются биссектрисами углов

Свойства четырехугольников Все свойства – параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Свойства четырехугольников отрезок MN – средняя линия трапеции Длина средней линии трапеции равна

Многоугольники Простая замкнутая ломаная, соседние звенья которой не лежат на одной прямой

Выпуклые многоугольники Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 о. (n – 2)

Правильные многоугольники Равносторонний треугольник Квадрат Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник

Свойство правильных многоугольников Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки – центра окружности ( точка О ) Отрезок АО – радиус АО = r Отрезок АВ – диаметр d Отрезок ВС – хорда

Взаимное расположение окружности с другими фигурами Касательная к окружности Вписанная окружность Описанная окружность

Равенство фигур Фигуры называются равными, если равны их стороны и углы. Отрезки, имеющие одинаковую длину, равны. Углы, имеющие одинаковую градусную величину, равны.

Признак равенства треугольников – 1 По двум сторонам и углу между ними

Признак равенства треугольников – 2 По стороне и прилежащим к ней углам

Признак равенства треугольников – 3 По трем сторонам

Подобие фигур Преобразование фигуры F в фигуру F / называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. F/F/ F O

Свойства подобия Прямые переводятся в прямые, отрезки в отрезки, полупрямые в полупрямые. Сохраняются углы между полупрямыми. Если, а, то. У подобных фигур соответственные углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны.

Признаки подобия треугольников I – ый (по двум углам) II – ой (по двум сторонам и углу между ними) III – ий (по трем сторонам)

Гомотетия Для построения подобных фигур используют гомотетию Н o k, где k – коэффициент подобия, О – центр гомотетии. О О

Площадь фигуры Площадью плоской фигуры называется число квадратов с единицей измерения, входящих во внутреннюю область фигуры. Вычисление площади: 1)Количество полных клеток; 2)Половина количества всех неполных клеток; 3)Сумма полных и половина неполных клеток фигуры составляют площадь. S = N полн + N н/полн / 2

Формулы вычисления площади R

Векторы A B Вектором называется направленный отрезок Абсолютной величиной (модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Действия над векторами Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Умножение вектора на число

Действия над векторами Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам A B Скалярное произведение векторов

Метод координат (1596 – 1650 гг) Французский ученый 0 Y X III IIIIV b a M абсцисса ордината M (a;b) координаты точки

Расстояние между точками на координатной плоскости A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ) Координаты середины отрезка Координаты вектора Уравнение прямойУравнение окружности Метод координатМетод координат

Движение на плоскости Преобразование одной фигуры в другую, при котором сохраняются расстояния между точками фигуры F F/F/

Симметрия относительно точки А А1А1

Симметрия относительно прямой

Поворот

Параллельный перенос

Подведем итог : Что мы называем планиметрией ? Какие основные фигуры на плоскости ? Чем выражены отношения между основными фигурами ? Назовите основные аксиомы планиметрии. Какие фигуры изучает планиметрия ? Каковы взаимные расположения различных фигур ? Что означает равенство фигур ? Как мы можем построить равные фигуры ? Стороны одной фигуры в несколько раз больше ( меньше ) соответствующих сторон другой фигуры. Как называется это преобразование ? Кто ввел систему координат ? Как вычислить площадь фигуры ?