Теорема Пифагора

Презентация на тему: «Теорема Пифагора и способы её доказательства. Цель урока: воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии; воспитание умений и навыков работы с дополнительной литературой по математике; поиска, выбора и анализы нужной информации по заданной теме и составления исчерпывающего сообщения в краткой форме; оформления наглядности и защиты своего выступления; расширение познания учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и различных способах её доказательства.

Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим- И таким простым путем К результату мы придем. (И.Дырченко)

Известно более 200 способов доказательства теоремы Пифагора. Один из способов мы уже рассматривали на уроках математики. Рассмотрим несколько других способов.

Древнекитайское доказательство Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3,4 и гипотенузой 5 единиц измерения. По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большом катете – 16. следовательно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Древнеиндийское доказательство Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.: (а+в)²=с² + 2ав 4S=4*0,5ав=2ав Sкв. =с² а²+2ав+в²=с²+2ав

Доказательство теоремы Пифагора в учебнике Атанасяна Дано: прямоугольный треугольник АВС Док-ть: а + b = c Док-во: 1. Достроим треугольник АВС до квадрата со сторонами (а+b) b a a a a a 2. У нас получится два квадрата: больший – со сторонами (a+b), а меньший – со стороной с 3. Найдем площадь большего квадрата S =(a+b) 4. Найдем площадь треугольника S = 0,5 ab 5. Площадь маленького квадрата будет S =c или S =S - 4S c = a + 2ab +b – 2ab = a + b Теорема доказана. b b b b с с с с с

Алгебраическое доказательство теоремы. Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: ΔABC Док-ть: AB 2 + BC 2 =AC 2 Док-во: Пусть ΔABC – прямоугольный и LABC – прямой. Проведём высоту BD из вершины B прямого угла. По определению косинуса угла cosA = AD/AB = AB/AC AB 2 = AD * AC cosC = DC/BC = BC/AC BC 2 = DC * AC Сложим полученные равенства почленно: AB 2 + BC 2 = AD * AC + DC*AC = AC(AD +DC)=AC 2 AB 2 + BC 2 =AC 2 ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА в с

Алгебраическое доказательство теоремы. Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или Что и требовалось доказать

Способ доказательства теоремы Пифагора. «Метод Гарфилда». Дано: Δ АВС; LА=90 О Доказать: с 2 =а 2 +в 2 Доказательство: 1)Построим СD АС, так чтобы СD= АВ. 2)Построим ЕD АD, так чтобы ED=AC. 3) Соединим точки В и Е. Соединим точки Е и С. 4)Рассмотрим ΔАВС и Δ СЕD- прямоугольные. АС=ЕD(по построению) => ΔАВС= ΔСЕD(по двум равным BA=CD(по построению) катетам) =>ВС=СЕ 5)LACD=LACB+LBCE+LECD=180 0 =>LBCE=LACD-(LACB+LECD)= =90 0 => ΔВСЕ-прямоугольный. 6)S ABED =S ΔABC +S ΔCED +S ΔBCE =2S ΔABC +S ΔBCE =2 ABAC+ BCCE=ABAC+ BCCE Т.к. ABED-трапеция, то S ABED = h = AD 7) ABAC+ BCCE= AD ABAC + BC 2 = ABAC+ = ABAC+ = + + ABAC+ = + BC 2 = AC 2 + AB 2 Ч.Т.Д ACD B E

Решите задачу Пифагора. В зданиях романского стиля верхние части для прочности и украшения расчленили на части в виде орнамента. Если ширина окна b, то радиусы полуокружности R=b:2; r=b:4. bR р r

Решение: D B CA 90 1)Cоединим точки А, В, С. 2)DBC- равнобедр.(т.к. DB=BC= +p)=>BA –высота => угол => BAС=90 3) Рассмотри ВАС – прямоугольный. Ав = в/2 - р вс = в/4 + р Ас = в/4 4) По теореме Пифагора: с 2 =а 2 +в 2 вс 2 =ва 2 +ас 2 ( в/4 +р) 2 =( в/2 -р ) 2 +( в/4 ) 2 в 2 /16 +2pв/4 +p 2 = в 2 /4 +p 2 +в 2 /16 в 2 /16+вр/ 2-в 2 /4 +в 2 p/16 = p 2 -p 2 вр/2 = в 2 /4 – вр 2вр = в - 4вр В = 4вр + 2вр В = 6 вр 6р = в Р=в/6

Решим несколько задач: 1 В треугольнике АВС угол А = 45, ВС=13 см, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DC, равный 12 см. Найдите площадь треугольника АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

2 Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см. Найдите стороны ромба. 2

П е р п е н д и к у л я р

Г и п о т е н у з а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а У г о л

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а У г о л в ы с о т а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а У г о л в ы с о т а О к р у ж н о с т ь

Заповеди Пифагора Пифагор и его ученики были трудолюбивы и аскетичны. Вот их заповеди: -делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться; -не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; -не пренебрегай здоровьем своего тела; -приучайся жить просто и без роскоши.