Пермский региональный институт педагогических информационных технологий Столповская Надежда Константиновна учитель математики М О У Ключевская средняя общеобразовательная школа п. Суксун 2006 г.

Интегральное и дифференциальное исчисление

Мы с Тамарой ходим парой… В математике все действия подразделяются на прямое и обратное : Сложение –Вычитание Умножение –Деление Возведение в степень – Извлечение корня Дифференцирование – Интегрирование

Дифференциальное исчисление – это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных и применение производных в исследовании функций.

Интегральное исчисление возникло из Рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, может быть, переменной скорости движения и Значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур. Интегральное исчисление- это раздел математического анализа в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения.

Совершим экскурс в историю… В 1613 году королевский математик и астролог австрийского двора Иоганн Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он купил несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён, увидев, что продавец определял вместимость бочки, измеряя лишь расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища.

Но такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача- какие измерения надо произвести, чтобы с достаточной точностью определить Объём бочки Задача осложнялась тем, что форма бочек не подходила ни под один из слу- чаев, изученных древними геометрами- Они не были ни шарами, ни параболическими сегментами,ни эллипсоидами

Решая эту задачу Кеплер прибегал к экстравагантным методам: и разрезание На тончайшие слои, и рассуждения по аналогии, и численные расчеты. Он Не создал полной теории по данному вопросу, но первый шаг в этом направлении был сделан. Его заслуга в том, что другие ученые увидели полезность таких понятий, как «бесконечно тонкий слой», « НЕДЕЛИМАЯ ЧАСТЬ» И Т. Д.

Но все их методы не укладывались в единое исчисление, которое можно выполнять по определённым правилам и которому можно научить любого человека. Чтобы разработать такое исчисление, надо было вскрыть то общее, что лежало за калейдоскопом решённых задач,создать на этой основе стройную систему понятий и потом выработать алгоритмы- правила, по которым можно вычислять. Это было одновременно и почти независимо друг от друга сделано

Английским физиком и математиком Исааком Ньютоном и немецким философом и математиком Готтфридом Вильгельмом Лейбницем. Лейбниц опубликовал первую печатную Работу по интегральному исчислению Основным понятием для Лейбница была сумма бесконечно малых пластин ydx, на которые разбивается криволинейная фигура, т.е. определенный интеграл.

Применение интегралов к вычислению объёмов тел. Понятие интеграла может быть использовано для доказательства формул объёмов тел: наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара и др.

Задача 1 Докажите. Что объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту. Задача 2.

Задача 3. Доказать, что объём конуса равен 1/3 произведения площади его основания на высоту.

Общая задача.. Вывести формулу объёма тела полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс

Задача 4. Объём шара. Найти объём шара.

Задача 5. Вычислить объем фигуры, образованной вращением фигуры, Ограниченной линиями у= Х=4, у=1 вокруг оси абсцисс

Задача 6. Как подводная лодка не имея связи с внешним миром, тем не менее выходит в точно заданный квадрат?

Приложения интеграла к решению физических и технических задач. 1) Работа,совершаемая переменной силой F в процессе движения вычисляется по формуле А= а

Данная презентация применяется в 11 классе на уроке – семинаре «Дифференциальное и интегральное исчисление»