3. Ранг матрицы Элементы линейной алгебры. Ранг матрицы (1) Минором к – го порядка матрицы А называется определитель к – го порядка с элементами, стоящими.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
§ 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы A называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка.
Advertisements

Линейная алгебра Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений.
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно.
§2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.1 Системы линейных уравнений Линейной системой m уравнений с n неизвестными х 1, х 2,…х n называется.
Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Определение: Определение. Система n уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты.
Тема 1 «Элементы линейной и векторной алгебры» Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Г.В. Аверкова Курс «Высшая математика» Понятия.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Системы линейных уравнений.. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты системы, i=1,…,m;
Лектор Белов В.М г. Тема: Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений.
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно.
Высшая математика Кафедра математики и моделирования Преподаватель Никулина Л. С. Четвертый семестр.
Нахождение фундаментального решения. Подготовила: Колосова Светлана. Принял: Адашев Д.К.
Системы линейных уравнений Лекция 3. Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определение: Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
1 3. Системы линейных уравнений. Леопо́льд Кро́некер.
Обратная Матрица. Определение. Матрица называется о б р а т н о й к квадратной матрице, если Обратная матрица обозначается символом Примечание. Операция.
Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними.
Метод Гаусса Выполнил Межов В.С. Группа СБ
Матрицы Элементарные преобразования и действия над матрицами made by aspirin.
Транксрипт:

3. Ранг матрицы Элементы линейной алгебры

Ранг матрицы (1) Минором к – го порядка матрицы А называется определитель к – го порядка с элементами, стоящими на пересечении любых к строк и к столбцов. Рассмотрим матрицу

Ранг матрицы (2) Рангом матрицы r(A) называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

Элементарные преобразования матриц Вычеркивание нулевой строки Элементарные преобразования матриц Перестановка двух строк Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число

Элементарные преобразования матриц (1) Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования матриц (2) Теорема 2. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг ступенчатой матрицы равен числу (ненулевых) строк.

Пример 6 (1) Найти ранг матрицы:

Пример 6 (2) Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду: ·(-2)

Пример 6 (3) Решение. ·(-2)

Пример 6 (4) Решение. ·(-2) ·(-3)

Пример 6 (5) Решение. ·(-2) ·(-3)

Пример 6 (6) Решение. ·(-1)

Пример 6 (7) Решение. ·(-1) r(A)=2

4. Метод Гаусса

Метод Гаусса (1) Метод последовательного исключения неизвестных – наиболее распространенный метод решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса (2) Рассмотрим систему

Метод Гаусса (3) Рассмотрим систему С помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:

Метод Гаусса (4) Возможен один из следующих случаев: 1) система не имеет решений (система несовместна); 2) система имеет единственное решение; 3) система имеет бесчисленное множество решений.

Теорема Кронекера-Капелли (1) Рассмотрим систему уравнений

Теорема Кронекера-Капелли (2) Рассмотрим систему уравнений Обозначим

Теорема Кронекера-Капелли (3) Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

Пример 7 (1) Методом Гаусса решить систему уравнений:

Пример 7 (2) Решение. Запишем расширенную матрицу:

Пример 7 (3) Решение. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду: ·(-2)

Пример 7 (4) Решение. ·(1)

Пример 7 (4) Решение. ·(1) r(A)=r(Ã)=3

Пример 7 (5) Решение.

Пример 7 (6) Решение.

Пример 7 (7) Решение. Найдем x 1 :

Пример 7 (8) Решение. x 1 =1, x 2 =1, x 3 =0 – единственное решение.

Окончание лекции