Применение метода координат при решении задач группы С в ЕГЭ по математике Агаджанян Степан Владимирович, учитель математики МОУ СОШ 26 г. Новороссийска 2011

Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание. Традиционный метод решения задачи опирается на определения расстояния или угла, и требует от учащихся развитого пространственного воображения, вследствие чего вызывает у них непреодолимые трудности. Координатный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно, так как для большинства «школьных» задач «чисто геометрический» способ оказывается предпочтительнее (короче запись, меньше вычислений) Актуальность проблемы

Три этапа формирования системы знаний по теме «Метод координат» I.Подготовительный этап. Цель: воспроизведение знаний и умений, необходимых для усвоения данной темы. В данном случае необходимо владение компонентами векторного и координатного методов в пространстве, алгоритмом построения уравнения плоскости.

Алгоритм построения уравнения плоскости 1-й способ. 1.Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости А(х 1,у 1,z 1 ), В(х 2,у 2,z 2 ), С(х 3,у 3,z 3 ). 2.Зададим произвольную точку М(х,у,z), принадлежащую плоскости. 3.На основе свойства компланарности векторов, составим определитель третьего порядка и приравняем его к 0: 4.Вычислив определитель, получим уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0

Алгоритм построения уравнения плоскости 2-й способ. 1.Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости А(х 1,у 1,z 1 ), В(х 2,у 2,z 2 ), С(х 3,у 3,z 3 ). 2.Подставив координаты найденных точек в уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0, и решая систему находим коэффициенты А, В, С и D.

Формула нахождения угла между прямыми в пространстве

Формула нахождения угла между двумя плоскостями векторы нормали данных плоскостей

Формула нахождения угла между прям ой и плоскостью

Формула нахождения расстояния d от точки М(х 0,у 0,z 0 ) до плоскости α, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0

Три этапа формирования системы знаний по теме «Метод координат» II. Мотивационный этап. Цель: убедить учащихся в необходимости овладения методом. Рассмотрим применение данной теории на примере решения задачи двумя способами: «чисто геометрическим» и координатным.

Задача С2 (вариант 5, КДР, январь 2011). В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС со стороной 4. Вершина пирамиды S проектируется в середину ребра основания. Через это ребро и середину противолежащего ребра проведена плоскость. Найдите расстояние от вершины пирамиды S до этой плоскости, если длина высоты равна й способ Через ребро SB и середину D ребра АС проведем плоскость, которая пересекается с плоскостью АМС по прямой MD. В плоскости SDB опустим перпендикуляр SP на прямую DM. Плоскость SDB, очевидно, перпендикулярна прямой АС (АС BD и АC SD) ), в частности АC SP. Поэтому SP – перпендикуляр к плоскости АМС. Так как М – середина гипотенузы прямоугольного треугольника SDB, то углы BSD и SDM равны, а значит треугольники SDB и SPD подобны, и мы имеем соотношение

2-й способ (координатный) Выберем систему координат как показано на рисунке и Выпишем координаты вершин данной пирамиды и точки М в этой системе координат: Найдем теперь уравнение плоскости АМС в выбранной системе координат, для чего подставим в уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 координаты точек А, М и С. Решая систему находим коэффициенты: D=0, B=0, С= Таким образом, уравнение плоскости АМС имеет вид или, после упрощения,Тогда расстояние d от точки S до плоскости АМС

Три этапа формирования системы знаний по теме «Метод координат» III. Ориентировочный этап. Цель: ознакомление учащихся с операционным составом действия, подлежащего усвоению. На данном этапе необходимо объяснить суть метода, выделить его основные компоненты, разъяснить приемы решения задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, «Метод координат» - это мощный аппарат для решения многих геометрических задач. Он не требует рассмотрения сложных конфигураций, а сводит геометрические задачи к алгебраическим, решить которые обычно легче, чем исходные геометрические.