Моделирование физических процессов

Задача. Построить математическую модель физического процесса движения тела, брошенного под углом к горизонту. Выяснить зависимость расстояния и времени полета тела от угла броска и начальной скорости. Угол броска и начальная скорость являются главными факторами процесса моделирования.

Решение. Постановка задачи. При расчетах будем использовать следующие допущения: 1. начало системы координат расположено в точке бросания; 2. тело движется вблизи поверхности Земли, т. е. ускорение свободного падения постоянно и равно 9,81 м/с²; 3. сопротивление воздуха не учитывается, поэтому движение по горизонтали равномерное.

Пусть Vo начальная скорость (м/с), α угол бросания (радиан), L дальность полета (м).

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается следующими формулами: V x = V o cos α горизонтальная составляющая начальной скорости, V y = V x sin α вертикальная составляющая начальной скорости, х = V x t так как движение по горизонтали равномерное,

у = V y t - – так как движение по вертикали равноускоренное с отрицательным ускорением. Искомым в этой задаче будет то значение х = L, при котором у = 0.

Математическая модель. Дано: Vo начальная скорость (м/с), α угол бросания (радиан). Найти: L дальность полета (м).

Связь: (1) L = Vx t - дальность полета, (2) 0 = Vy t – точка падения, (3) Vx = Vo cos α горизонтальная проекция вектора начальной скорости, (4) Vy = Vo sin α вертикальная проекция вектора начальной скорости, g = 9,81 ускорение свободного падения, Vo > 0 0 < α

Подставляем в формулу (2) значение Vy из формулы (4). Получаем уравнение: (5)

Чтобы решить это уравнение, найдем из формул (1) и (3) выражение для t:

Подставив это значение в уравнение (5), получаем решение:

или Отсюда дальность полета равна: т. е. зависит от начальной скорости и угла наклона.

Компьютерный эксперимент. I. Выяснить, как зависит дальность полета от угла броска. (Используем Excel) В формульном виде:

ABC 1 Задача о полете тела, брошенного под углом к горизонту 2 Исходные данные 3 Начальная скорость 60 4 Угол бросания 15 5 Шаг увеличения угла 15 6 Расчеты 7 Промежуточные расчеты Результаты 8 Угол бросания Начальная скорость Дальность полета =($B$9^2*SIN(2*A9*3,14/180))/ 9,81 10 =A9+$B$5 Заполнить вниз 11 Заполнить вниз

ABC 1Задача о полете тела, брошенного под углом к горизонту 2Исходные данные 3Начальная скорость60 4 Угол бросания 15 5Шаг увеличения угла15 6Расчеты 7 Промежуточные расчеты Результаты 8 Угол бросания Начальная скорость Дальность полета , , , , ,90787

Делаем выводы: С увеличением угла бросания от 15 до 45° при постоянной начальной скорости полета дальность полета увеличивается. С увеличением угла бросания от 45 до 90° при постоянной начальной скорости полета дальность полета уменьшается.

2. Выяснить, как зависит на Луне дальность полета от угла броска (g = 1,63 м/с²)

3. Выяснить, при каком угле броска, тело улетит на наибольшее расстояние. Начальная скорость – 15 м/с, величина угла лежит в пределах от 30 до 70°. Какое при этом будет время полета? Формулы в ячейках остаются такими же, как и в п. 1 и 2, меняются лишь исходные данные.