Содержание

Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции Содержание Понятие функции Общие свойства функции Понятие обратной функции Непрерывность Элементарные функции Введение

При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, время и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц. Введение на главную

Понятие функции Пусть D и E – непустые числовые множества, а x и y – соответственно их элементы. Если каждому x D (x принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение y E, то говорят, что между переменными x и y существует функциональная зависимость, и x называют независимой переменной ( или аргументом ), а y – зависимой переменной ( или функцией ). Символическая запись функции: y = f(x) (x D, y E). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество E называют областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f отображает множество D на множестве E. на главную

Общие свойства функции Четность и нечетность на главную Периодичность Нули функции Промежутки знакопостоянства Монотонность

Четность и нечетность Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x). Примеры четных функций: y = x 2 ; y = x 2 + 5; y = -3x 2 + 1; y = ½x½; y = 3. (y = x 2 ; y(1) = 1 2 = 1; y(-1) = (-1) 2 = 1; y(1) = y(-1)). Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат: y xO x0x0 - x 0 f(x 0 ) f(-x 0 ) y = f(x) назаддалее

Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x). Примеры нечетных функций: y = x 3 ; y = x 3 + x. (y = x 3 ; y(1) = 1 3 = 1; y(-1) = (-1) 3 = -1; y(-1) = -y(1)). График нечетной функции симметричен относительно начала координат: y x x0x0 - x 0 f(x 0 ) f(-x 0 ) O y = f(x) далееназад

При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции. Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию. Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Пример: y = x 3 + x 2 y(-1) = (-1) 3 + (-1) 2 = = 0 y(1) = (1) 3 + (1) 2 = = 2 назад

Периодичность Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T 0 что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T): y x O T y = f(x) далееназад

Число T называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nT при любом целом n также являются периодом функции f(x), так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x). Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций: y = sin x; y = ctg x; y = sin 3 x. Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10. назад

Нули функции Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю. x y O x1x1 x3x3 x2x2 y = f(x) назад Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью. х 1, х 2, х 3 – нули функции у = f(x).

Промежутки знакопостоянства Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0. O y x y = f(x) a f(x) > 0 при x > a f(x) < 0 при x < a назад

Монотонность Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается. y x O y x3x3 x2x2 x1x1 монотонно возрастает y = f(x) y x O монотонно убывает y x3x3 x2x2 x1x1 далееназад

Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на интервале (a, b), если для любых x 1 и x 2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x 2 > x 1 следует неравенство f(x 2 ) > f(x 1 ). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x 1 и x 2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x 2 > x 1 следует неравенство f(x 2 ) < f(x 1 ). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции. назад

Понятие обратной функции Функция, принимающая каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k0 функция f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x 2 не является обратимой. Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией. Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так : x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x). на главную y x O 1 y = sin x y x O 1 y = arcsin x

Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции Точка x 0 называется точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x), если значение в этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках. для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»). далеена главную

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x 0 [a; b], если существует окрестность точки x 0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x 0 ). Под окрестностью точки x 0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x 0, т. е. (x 0 – e ; x 0 + e), где e – произвольное положительное число. y x O y = f(x) max min x max x min далееназад

Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x 0 [a; b], если существует окрестность точки x 0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x 0 ). Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума : два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума функции : Если функция непрерывна в точке x 0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x 0 есть точка максимума. Признак минимума функции : Если функция непрерывна в точке x 0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с минуса на плюс, то x 0 есть точка минимума. O y x a b C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 y = f(x) назад

Непрерывность Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. О у х y = f(x) а b О х у а О х у а на главную

Элементарные функции Линейная Обратная пропорциональность Квадратичная Степенная Показательная Логарифмическая Тригонометрические на главную

Линейная функция Определение: Функция вида y = kx + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией. 1. Если k = 0, тогда y = b. Эта функция определена на множестве R и для каждого X принимает одно и то же значение, равное b. Графиком является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на b единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0; если b = 0, то прямая совпадает с осью Ox. y x O b b y = b; b > 0 y = b; b < 0 далееназад

2. Если b = 0, то y = kx. Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Она определена на множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям. O y x y = kx k > 0 O y x y = kx k < 0 назаддалее

3. Если k 0 и b 0, то y = kx + b. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке x = -b/k ( т. е. график функции пересекает ось Ох в единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0. O y x x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 y = kx + b k > 0 O y x x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 y = kx + b k < 0 назаддалее

Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла, образованного осью абсцисс и прямой ; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой. О y x b B(0; b) y = kx + b k > 0 A(-b/k; 0) назад

Обратная пропорциональность Определение: Функция вида x = k/x, k 0, называется обратной пропорциональностью. Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (- ; 0) (0; +. Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет корней. Если k > 0, то функция монотонно убывает на всей области определения. Если k < 0, то функция монотонно возрастает на всей области определения функции. y x O y x O далееназад y = k / x k > 0 y = k / x k < 0

График обратной пропорциональности называется гиперболой. Участки кривой при x > 0 и x < 0 называются ветвями гиперболы. назад

Квадратичная функция Определение: Функция вида y = ax 2 + bx + c, где a, b,c – некоторые числа, a 0, называется квадратичной. 1. Функция вида y = x 2 – простейшая квадратичная функция. Это четная функция, у которой D = (- ; + ), а E = [0; + ). При x > 0 она возрастающая, а при x < 0 - убывающая. Ее график называется параболой. График проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх. y x O 1 1 y = x 2 назаддалее

2. Квадратичная функция вида y = ax 2 также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее направлены вверх и E = [0; + ), а при a < 0 ветви направлены вниз и E = (- ; 0). Чем меньше абсолютная величина a, тем дальше отходят ветви параболы от оси ординат, тем « шире » она. Чем больше абсолютная величина a, тем плотнее ветви параболы прижаты к оси ординат, тем « уже » она. y x O 1 1 y = аx 2 a > 0; a > 1 y x O 1 y = ax 2 a < 0; a < 1 назаддалее

3. Квадратичная функция общего вида y = ax 2 + bx + c также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x 0 (x 0 – абсцисса вершины параболы ), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y 0 ; + ) или вниз при a < 0 и тогда E = (- ; y 0 ), где y 0 – ордината вершины параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b 2 ) / 4a). Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c отрицательный, т. е. B 2 – 4ac < 0, то график функции y = ax 2 + bx + c не пересекает ось абсцисс. назаддалее y = ax 2 + bx +c a < 0 y O x -b/2a (0; c)

Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax 2 + bx + c. O y x -b/2a (0; c) y = ax 2 + bx +c a > 0 O y x -b/2a (0; c) y = ax 2 + bx +c a > 0 назад

Степенная функция Определение : Функция, заданная формулой y = x n, называется степенной. 1. При n, равном 1; 2; -1, имеем соответственно функции y = x, y = x 2 ; y = -1 / x, уже рассмотренные ранее. 2. Если n – число целое и четное, то функция y = x n – четная ; при нечетном n она нечетная. При положительных n эта функция определена для всех действительных значений аргумента x, при отрицательных n она определена для всех x, кроме x = 0. При любом n 0 степенная функция неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1; 1). Если n – число иррациональное, то функция y = x n определена только для положительных значений аргумента x или для неотрицательных x, если n > 0. назад

Показательная функция Определение : Функция, которую можно задать формулой y = a x, a > 0, a 1, называется показательной. Эта функция определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; + ). График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает. O y x 1 y = a x a > 1 O y x 1 y = a x 0 < a < 1 назад

Логарифмическая функция Определение : Функция вида y = log a x, где a > 0, a 1, называется логарифмической. Эта функция определена на промежутке (0; + ), а областью значений является промежуток (- ; + ). Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает. y = log a x a > 1 O y x 1 O y x 1 y = log a x 0 < a < 1 назад

Тригонометрические функции 1. Функция синус. Определение : Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена sin x 1. Она периодическая, ее период T = 2 n, n Z : sin( x + 2 n ) = sin x, n Z. Функция y = sin x – нечетная : sin (-x) = - sin x ее график симметричен относительно начала координат. График этой функции называется синусоидой. Функция принимает нулевые значения При х = n, n Z. Функция y = sin x возрастает на промежутках [- 2 n; 2 n ], n Z и убывает на промежутках [ 2 n; 3 2 n ], n Z y x O 1 y = sin x T = 2 далееназад

2. Функция косинус. Определение : Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется косинусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена cos x 1. Она периодическая, ее период T = 2 n, n Z : cos( x + 2 n ) = cos x, n Z. Функция y = cos x – четная : cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат. График этой функции называется косинусоидой. Функция принимает нулевые значения при х = + n, n Z. Функция y = cos x возрастает на промежутках [ 2 n; 2 2 n ], n Z и убывает на промежутках [ 2 n; 2 n ], n Z y x O 1 y = cos x T = 2 назаддалее

3. Функция тангенс. Определение : Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется тангенсом. Функция определена при x n, n Z. Ее областью значений является интервал (- ; + ). Она периодическая, ее период T = n, n Z : tg( x + n ) = tg x, n Z. Функция y = tg x – нечетная : tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = n, n Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой. Функция принимает нулевые значения при х = n, n Z. Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения (- n; n ), n Z. y x O 1 y = tg x T = назаддалее

4. Функция котангенс. Определение : Числовая функция, заданная формулой y = ctg x, называется котангенсом. Функция определена при x n, n Z. Ее областью значений является интервал (- ; + ). Она периодическая, ее период T = n, n Z : ctg( x + n ) = ctg x, n Z. Функция y = ctg x – нечетная : ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = n, n Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой. Функция принимает нулевые значения при х = n, n Z. Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения ( 2 n; n ), n Z. y x O 1 y = сtg x назад