AC = AO k k 21 BO = BD k 2 B DC O – 21 OC = CA AB = DC k 1 BC = DA k A k AM = CA – 41 M MC = AM k 3 k AC = CM – 34 AO = BD k k – не сущ M M – середина АО ABCD ABCD – параллелограмм

О p и координатные координатные векторы векторыij p{ x; y} координаты координаты вектора вектора p {4; 3} F i=1; j=1 p = xi + yj разложение вектора по координатным векторам F(4; 3) j p =4i +3j Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора. xyB A 1iiii j j

О p p {3;-5} P 1 P (3;-5) i p =3i –5j m j M m{0; 4} M (0;4) m=0i +4j xy m = 4j

О n n{-4;-5} N 1 N(-4;-5) i n = –4i –5j cj C c {-3,5;0} C (-3,5;0) c =-3,5i+0j xy c = -3,5i

О 0 {0;0} 0 {0;0} 1 O (0; 0) i 0 =0i +0j jxy i {1;0} i {1;0} j {0;1} j {0;1} e r e {0;-1} e {0;-1} r {-1;0} r {-1;0}

О c{-3;-1} 1 N(-3;-1) i c = –3i –1j c jxyN Координаты равных векторов соответственно равны

Координаты вектораРазложение вектора по координатным векторам a {-6; 9} n {-8; 0} m{4; -3} c {0; -7} r {-5;-8} s {-7; 0} e {0; 21} q {0; 0} r = –5i –8j a = – 6i+9j n = – 8i+0j c = 0i –7j m =4i –3j s = –7i+0j e = 0i +21j q =0i +0j ? ? ? ? ? ? ? ?

Координаты вектораРазложение вектора по координатным векторам n {-2; 3} k {4; 2} d{0; -5} m {3; -0,5} a {-4; 4} b {0; 7} c {-5; 0} x {7; -7} a = –4i +4j n = – 2i+3j k = 4i+2j m =3i–0,5j d =0i –5j b = 7j c = -5i x =7i –7j

D E xyF H C B A О 1i j 1) Какой из данных векторов равен вектору 4i –2j4i –2j4i –2j4i –2j 2) Напишите разложение ОЕ вектора ОЕ по координатным векторам иi j 3) Найдите координаты ОА вектора ОА 4) Какой вектор имеет координаты {-4;2} 5) Отложите от т.О вектор с координатами {2;-4} {2;4}{2;4}{2;4}{2;4} = -4i -2j ОС = ОF =ОF =ОF =ОF = ОHОHОHОH

О 1i jxya b c e d f 918 Разложите векторы по координатным векторам и и найдите их координаты.i j

Правила действий над векторами в координатах

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов a = x 1 i +y 1 j b = x 2 i +y 2 j = (x 1 + x 2 )i + (y 1 + y 2 ) j = (x 1 + x 2 )i + (y 1 + y 2 ) j a +b = {x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 } a {x 1 ; y 1 } b {x 2 ; y 2 } Рассмотрим векторы и a + b = (x 1 i + y 1 j) + (x 2 i +y 2 j) =

a +b ={ 5; 7} a +b ={ 4; 1} a +b ={ 1; 1} a +b ={-1; 0} a {3; 2}; b {2; 5} 922 a {3;-4}; b {1; 5} a {-4;-2}; b {5; 3} b {5; 3} a {2; 7}; b {-3;-7} b {-3;-7} a {-6; 9} n {-8; 0} + a +n ={-14;9} s {-6; -4} p { 2; 1} + s +p ={-4;-3} s +p ={-4;-3} Найдите координаты вектора, равного сумме векторов

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов a = x 1 i +y 1 j b = x 2 i +y 2 j = (x 1 - x 2 )i + (y 1 - y 2 ) j = (x 1 - x 2 )i + (y 1 - y 2 ) j a - b = {x 1 - x 2 ; y 1 - y 2 } a {x 1 ; y 1 } b {x 2 ; y 2 } Рассмотрим векторы и a - b = (x 1 i + y 1 j) - (x 2 i +y 2 j) =

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число a = xi +y j ka {kx; ky} a {x; y} Рассмотрим вектор k ka = kxi +ky j 3 3a {-6; 3} a {-2; 1} (-2) -2a {4; 0} a {-2; 0} (-1) -a {2; -5} -a {2; -5} a {-2; 5}

-e{ } -d{ } d{-2;-3}; -c{ } -b{ } b{-2; 0}; -a{ } a {2; 4}; Найти координаты векторов, противоположных данным: c {0; 0}; e {2;-3}; -f{ } f(0; 5}; 925

-2f{ } f(0; 5}; 0,5e{ } -c{ } -3d{ } -2b{ } 3a{ } d{-2;-3}; b{-2; 0}; a {2; 4}; Найти координаты векторов: c {2;-5}; e {2;-3};

b {-8;12} a {-6; 9} a –b ={-6-(-8); 9-12} Найдите координаты вектора, если a - b -b{8;-12} a {-6; 9} b {-8;12} a {-6; 9} a –b ={2; -3} (-1) b {-8;12} a – b = a + (-b) 2 способ - 1 способ a {-6; 9} b {-8;12} a {-6; 9}+ a - b ={2;-3} -b {8;-12}

Найдите координаты вектора, если a - b923(а) a {5;3}; b {2;1} 1) a {5;3}; b {2;1} a {5; 3} - a - b ={3; 2} + -b{-2;-1} (-1) 1 способ a - b ={3; 2} 2 способ a {5; 3} b {2; 1}

a +c { } a - c{ } b+d{ } c +e{ } f - d{ } b - d{ } Найти координаты векторов: d{-2;-3}; b{-2; 0}; a {2; 4}; c {2;-5}; e {2;-3}; f(0; 5}; c {3; 2}; d{-2;-3}; b{-2; 0}; c {3; 2}; a {2; 4};

b{-5; 3} a{2;-4} + 4a-2b ={18;-22} Даны векторы и. Найдите координаты вектора a{2;-4} b{-5; 3} m = 4a - 2b a{2;-4} b{-5; 3} 4a{8;-16} -2b{10;-6} 4 a{2;-4} (-2) b{-5; 3} ij Разложите полученный вектор по координатным векторам i и j.

Установление коллинеарности векторов, заданных своими координатами

y О x y Дано: ОА = ОС = 10, ОВ =6, СА О y. Найдите: ОА, ОС, АС координаты векторов ОА, ОС, АС.А В С 8 OA{-6; 8} OC{-6;-8} AC{0;-16}

3 3 x y О Дано: OABC – параллелограмм, ОА = 6, ОС = 8, ОC, ОA, ОВ ij АОС = Разложите векторы ОC, ОA, ОВ по координатным векторам i и j.А В С OC{ 8; 0} OA{3; } 3 3 OB{11; } 3 3 OA=3i + j 3 3 OB=11i + j 3 3 OC =8i K L

yyО x А В M 12 5 АМ ij На рисунке АМ=5, МВ=12. Разложите вектор АМ по координатным векторам i и j. Докажи, что М=90 0. K xy

Соотношения между элементами прямоугольного треугольника Повторение C A В a 2 + b 2 = c 2 c b a bcbcbcbc acacacac h