лекция 5 План лекции 5 Z-преобразование и его свойства Представление ЛПП-систем в Z-области Соединение ЛПП-систем Рекурсивные и нерекурсивные фильтры определение структурной схемы фильтра по разностному уравнению

лекция 5 Z-преобразование Определение: Одностороннее Z-преобразование последовательности x(n) определяется соотношением где z = r exp (j ) - комплексная переменная Область сходимости Re(z) Im(z) r0r0

лекция 5 Z-преобразование простых последовательностей Пример 1. Z- преобразование единичного импульса (n). Поскольку x(n)=0 при любых n, за исключением n=0, где x(n)=1, то X(z) =1 Пример 2. Z-преоб р азование задержанной функции единичного отсчета (n-k) равно z -k. Пример 3. Z- преобразование единичной последовательности u 0 (n). Поскольку x(n)=0 везде, кроме n 0, где x(n)=1, то X(z) сходится при |z|>1, имеется одна особая точка (полюс) при z=1.

лекция 5 Свойства Z-преобразования Линейность y(n) = ax 1 (n)+ bx 2 (n) Y(z) = aX 1 (z)+ bX 2 (z) 2. Задержка последовательности. Если Z{x(n)} = X(z) и x(n)=0 при n< 0, то y(n) = x(n-N) имеет Z- преобразование Y(Z) = z -N X(z) 3. Умножение на n. Если y(n)=nx(n), тогда Y(Z) = - zdX(z)/dz 4. Умножение на экспоненту. Если y(n) = a n x(n), тогда Y(Z) = X(a -1 z) 5. Свертка последовательностей. Если Z{x 1 (n)} = X 1 (z) и Z{(x 2 (n)} = X 2 (z), тогда свертка последовательностей имеет Z- преобразование Y(z)= X 1 (z)X 2 (z).

лекция 5 Свойства ЛПП-систем Свойство свертки Z-преобразования имеет очень важное следствие: если y(n) и x 2 (n) являются соответственно выходом и импульсной характеристикой h(n) ЛПП-системы, то Y(Z) = X(z)H(z),( 1 ) где H(z) - Z-преобразование импульсной характеристики, которая называется передаточной характеристикой системы Из (1) получим H(z) = Y(z)/X(z). H(z) X(z) Y(z)

лекция 5 Решение разностных уравнений Z- преобразование является удобным аппаратом для решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Применив Z- преобразование к обеим частям уравнения М-го порядка и используя свойства линейности и задержки, получим линейное разностное уравнение М-го порядка, связывающее z-преобразование входного сигнала x(n) с выходным y(n):

лекция 5 Решение разностного уравнения Y(z) и X(z) - Z-преобразования последовательностей y(n) и x(n). Учитывая, что Y(z)= H(z)X(z),находим Применив обратное Z-преобразование к Y(z) можно найти y(n) по известным x(n) и H(z)

лекция 5 Соединение ЛПП-систем ЛПП - системы можно соединять последовательно, параллельно, с обратной связью Последовательное соединение: р езультирующая передаточная функция записывается H(z) = H 1 (z)H 2 (z) x(z) y(z) H(z) H 1 (z) H 2 (z)

лекция 5 Параллельное соединение Входная последовательность у фильтров одинакова, а выходная последовательность равна сумме выходов фильтров. Результирующая передаточная характеристика запишется H(z) = H 1 (z) + H 2 (z). x(z) H(z) H 2 (z) H 1 (z) + y(z)

лекция 5 Соединение с обратной связью Выходная последовательность одного фильтра подается на вход другого. Результирующая передаточная характеристика записывается H(z) = H 1 (z)/ (1 H 1 (z)H 2 (z)) x(z) y(z) + (-/+) H 1 (z) H 2 (z)

лекция 5 Рекурсивные и нерекурсивные фильтры Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью x(n) и откликом фильтра y(n) можно представить в виде y(n) = F[y(n-1), y(n-2),..., x(n), x(n-1),...x(n-M)] текущий отсчет выходного сигнала y(n) определяется не только текущими и предшествующими значениями входа, но и предшествующими отсчетами выходного сигнала

лекция 5 Рекурсивные и нерекурсивные фильтры Для нерекурсивных фильтров связь между входной последовательностью и откликом имеет вид y(n) = F[x(n), x(n-1),...x(n-M)] текущий отсчет на выходе зависит от текущего входного отсчета и предшествующих значений входной последовательности

лекция 5 Прямая форма структурной схемы фильтра Прямая форма структурной схемы рекурсивного фильтра непосредственно следует из представления передаточной функции фильтра в виде дробно-рационального полинома + y(n) x(n) b0b0 b1b1 -a m -a 2 -a 1 bmbm z -1

лекция 5 Прямая каноническая форма фильтра Структурная схема фильтра содержит минимальное число элементов задержки. Передаточную функцию рекурсивного фильтра можно представить в виде H(z) = H 1 (z)H 2 (z) Данным фильтрам соответствует пара разностных уравнений

лекция 5 Прямая каноническая форма фильтра y(n) x(n) + + V(n) z -1

лекция 5 Параллельная форма фильтра Структурная схема соответствует представлению передаточной функции в виде суммы где слагаемые H l (z) соответствуют блокам второго или первого порядка

лекция 5 Параллельная форма фильтра + x(n) C H 1 (z) H 2 (z) H L (z)