Проблемы решения квадратных уравнений

Авторы Оглоблина Полина, Вокальчук Екатерина, Лукиных Екатерина, Котова Надежда, Карпова Кристина.

Актуальность проблемы Актуальность определяется следующими обстоятельствами. 1. Изучение тенденции развития проблем решения квадратных уравнений. 2. Убеждение в многообразии рациональных способов решений квадратных уравнений. С уравнениями мы знакомы давно. Уравнения - одно из важнейших понятий математики. Решая уравнение с одним неизвестным, мы, как правило, приходим к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы.

Целью нашей работы является формирование личного представления о возможности решения квадратных уравнений различными способами.

Предмет исследования: квадратные уравнения

В основу исследования была положена следующая гипотеза: изменится ли способ решения квадратного уравнения в зависимости от его вида.

Методы исследования : в процессе выполнения работы использовались методы: анализ; обобщение; сравнение; доказательства; вычисления.

метод выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Среднеазиатский учёный Аль -Хорезми рассматривал решение уравнения (х²+10х=39). Площадь большого квадрата равна (х+5)². Она складывается из площади закрашенной фигуры (х²+10х), равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)²= х + 5 = ±8 х 1 =3; х 2 =-13

( Х²Х² 5/2 x (5/2)²5/2x(5/2)² 5/2 x (5/2)² 5/2 x

Основная часть 1. Общие способы решения квадратных уравнений. Квадратное уравнение – это уравнение ах² + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, причем, a0, x – неизвестное. Рассмотрим способы решения квадратных уравнений и исследуем корни квадратного уравнения в зависимости от его коэффициентов

8х² + 2х – 1 = 0 ах 2 + bx + c = 0 D=b 2 -4ac D>0 D=0D

8х² + 2х – 1 = 0 D = b² - 4ас = (-1) = 4+32 = 36, D>0, два корня. Х 1,2 = (-b ± D)/2а = (-1± 49) /26 = -1±7/12 Х 1 = - 2/3 x 2 = 1/2

Формула для четного коэффициента b ах²+ bх +с = 0 b=2m D 1 = m² - ac D 1 > 0 D 1 = 0 D 1 < 0 Действительных корней нет Х = -m/aХ 1,2 =(-m ±D)/a

Пример: 3х²- 4х + 1 = 0 D = m²- ac = (-2)²-4 1 = 4 – 3 = 1, D>0, два корня Х 1 = (-m + D )/a = (2+1/3)=2 + 1/3, X 1 =1/3 Х 2 = (-m-D)/a = (2-1/3)= 2 -1/3; Х 2 =1.

Приведенное квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единицы Х²+ pх + q = 0 D = (p/2)² -q D>0 D=0 D

Пример: Х²- 14х – 15 = 0 D = 7² –(-15) =64 Х 1,2 = 7± 64 = 7 ± 8 Х 1 = 15, Х 2 =-1

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, х 1, х 2 таковы, что х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q, то х 1 и х 2 –корни уравнения х²+ рх + q = 0 х²- 7х + 12 = 0

Пример: х²- 7х + 12 = 0 х 1 +х 2 =7, х 1 =3 х 1 х 2 =12. х 2 =4

Частные случаи решения квадратных уравнений. 1. Решение неполных квадратных уравнений 1) С=0 ах² + bх =0 х(ах + b)=0 х 1 =0 или ах + b = 0 х 2 = -b/а Например: 2х²- 5х = 0 Х(2х-5)=0 х 1 =0 или 2х-5=0 2х=5 х 2 =2,5

2. b = 0 ах²+ с = 0 ах²= - с х²= -с : а х 1,2 = ± -с/а 4х²- 9 = 0

Например: 1 способ 4х²- 9 = 0 4х² = 9 х²= 9/4х²= 9/4 х 1 = 3/2 = 1,5 Х 2 = - 1,5

Например: 2 способ 4х² – 9 =0 (2х-3)(2х+3)=0 2х – 3 = 0 или 2х + 3 = 0 Х 1 = 1,5 х 2 = -1,5

3. b=0, с=0 ах² = 0 Например: 2х²=0 х² = 0 х²= 0 Х = 0 х = 0

Рассмотрим решение квадратного уравнения ах²+ bх + с = 0 в зависимости от соотношения между коэффициентами а, b, с. Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а. 2х²+ 3х - 2=0

Например: 2х²+ 3х - 2= – 5 = 0, значит, х 1 =1, х 2 = - 5/2

2. Если а-b-с=0, то х 1 =-1, х 2 = - с/а. Например: 2х²+3х-5= =0, значит, х 1 =-1, х 2 =1/2

3. Если а = с = к, b= к²+1, т.е. кх²+(к²+1)х+к=0, то х 1 = -к, х 2 =-1/к Например: 2х²+5х+2=0

Например: 2х²+5х+2=0 5 =2²+1, к=2 х 1 =-2, х 2 =-1/2

3. Если а = с = к, b =-(к²+1), т.е кх²-(к²+1)х+к=0, то х 1 = -к, х 2 =-1/к Например: 3х²-10х+3=0

Например: 3х²-10х+3=0 3х²-(3²+1)х+3=0 х 1 =3, х 2 =1/3

Заключение Теоретическая значимость исследования состоит в том, что представлены как наиболее распространенные методы решения квадратных уравнений, так и достаточно эксклюзивные, показана зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и соотношения между этими коэффициентами.

Практическое значение работы заключается в том, что исследованные нами способы решения квадратных уравнений могут быть использованы учащимися 8-х классов при изучении темы «Квадратные уравнения», 9 класс при решении задач методом квадратных уравнений, материал может быть использован для построения элективного курса, при подготовке к ЕГЭ, презентация работы может быть использована как пособие для учащихся и учителя.