Алгебра и начала анализа ТРИГОНОМЕТРИЯ Радианная мера углов и дуг Воробьев Л.А., г.Минск Адаптировано: Медицинский техникум 9, СПб

Радианом называется величина центрального угла, который опирается на дугу окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад). 1 рад R R R A B O AB=R AOB=1 рад рад

Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность? Подсказка: вспомните формулу длины окружности… R R R R R R ?

Сколько градусов в 1 радиане? 1 рад R R R A B O Сколько радиан в 1градусе? 1 0 = рад; 1 0 0,017 рад 1 рад = ; 1 рад Помни: Градусная мера длины окружности – 360° Радианная мера - 2π

Задание 1 Вывести правило перевода из градусной меры в радианную Ответ: α 0 = α 0 · рад правило перевода из градусной меры в радианную; – 2 рад α 0 – ? рад Пример: переведите 30 градусов в радианы. Ответ: 30°=30° · =

Задание 1. Вывести правило перевода из радианной меры в градусную Ответ: α рад= α· правило перевода из радианной меры в градусную – 2 рад ? 0 – α рад Пример: переведите радиан в градусы. Ответ: = · = 135°

Окружность с центром в начале системы координат Oxy и радиусом, равным единице, называется единичной, а ограниченный ею круг – тригонометрическим. Приняв точку пересечения окружности с положительной частью оси Ох за начало отсчета; Выбрав положительное направление – против часовой стрелки, отрицательное – по часовой стрелке; Отложив от начала отсчета дугу в 1 рад, мы получим, что тригонометрическая окружность в некотором смысле «эквивалентна» понятию «числовая прямая». x y «+» « » 1

у х 1 – – Проследите за одновременным движением точки на координатной прямой и на тригонометрической окружности: Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности их пять.

Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых из них будут выражены через число (объясните почему). Выполнив поворот на развернутый угол в положительном и отрицательном направлениях получаем две совпадающие точки окружности с координатами… x y Откладывая в положительном и отрицательном направлениях от начала отсчета прямой угол получим точки, соответствующие числам … и ( объясните почему);

Помни: декартова система разбивается координатными осями на четыре координатные четверти – I, II, III и IV. Задание 2. Определите границы координатных четвертей через углы поворота в радианной мере, взятых в положительном направлении. Задание 3. Выполните предыдущее задание, при условии, что выбирается отрицательное направление углов поворота. Задание 4. Какой координатной четверти принадлежит точка окружности с координатой 6,28? x y III IIIIV

Ответы и решения. Задание 2. - I четверть, - II четверть, - III четверть, - IV четверть. Задание 3. - I четверть, - II четверть, - III четверть, - IV четверть

Ответы и решения Задание 4. 6,28 IV (см.рис.) 6,28

Отметим на тригонометрической окружности точку А, соответствующую произвольному острому положительному углу поворота. Если добавить полный поворот к углу α, то мы снова окажемся в той же точке А. Но теперь ее координата равна (подумайте)…. Вообще, любую точку окружности можно получить поворотом на угол, вида α +2 n, где n и α [ 0;2 ). x y A(α)A(α) A(α+2 )

это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов! Отметив на окружности точки с абсциссой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему); Аналогично, получаются точки окружности с координатами ;. Обратите внимание на симметричность относительно оси Ox полученных точек! x y ,5

это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов! Отметив на окружности точки с ординатой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему); Аналогично, получаются точки окружности с координатами ;. Обратите внимание на симметричность относительно оси Oy полученных точек! x y ,5

Графики функций y=x и y= x прямые, являющиеся биссектрисами координатных четвертей. Постройте графики функций y=x и y= x. Подумайте, какие углы поворота соответствуют точкам пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью?... …Ответ: ; ; ;. x y

Итогом нашей предыдущей работы является данная окружность, на которой отмечены наиболее часто встречающиеся в различных таблицах углы. Примечание. На чертеже отмечены только положительные углы поворота. Задание 5. Найдите координаты всех точек, отмеченных на данной окружности (указание: рассмотрите различные прямоугольные треугольники с гипотенузой-радиусом (см.рис.) и примените теорему Пифагора ; помните о симметричности точек). x y ,5 -0,5

Ответы и решения. Задание 5.