подготовила ученица 10 класса «А» ГОУ СОШ 1242 ЮАО г. Москвы Базякина Ирина

Содержание: Определение тригонометрии и исторические сведения Тригонометрическая окружность Градусы и радианы Основные понятия –СинусСинус –КосинусКосинус –ТангенсТангенс –Арксинус и его свойстваАрксинус и его свойства –Арккосинус и его свойстваАрккосинус и его свойства Формулы приведения Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргументаЗависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента Косинус, синус суммы и разности двух аргументов Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов Литература и другие источники

Определение тригонометрии Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

История тригонометрии Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

История тригонометрии Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Птолемей

0 B C Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе OC (т.е. радиусу единичной окружности), то в середине века термином «синус» обозначали саму линию синуса BC.

Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера. Леонард Эйлер

Тригонометрическая окружность 0 x R=1 I II IIIIV A B C D + -

Градусы и радианы 0 x y +

- 0 x y

Определение, свойства и график функции синус Определение синусаОпределение синуса Свойства функции y=sin(x) –области определений и значений, периодичностьобласти определений и значений, периодичность –четность и нечетностьчетность и нечетность –знаки функциизнаки функции –точки экстремума, промежутки возрастания и убыванияточки экстремума, промежутки возрастания и убывания –график функцииграфик функции

Определение синуса Синусом угла α называется число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу α, и обозначается sin α. Таким образом, по определению sin α = b.

Функция y=sin x Областью определения функции является множество действительных чисел D(y)=R. Свойство следует из определения функции. Область значений E(y)=[-1;1], так как ордината точки M, являющаяся концом радиуса OM, может принимать значения на отрезке [-1;1]. Периодичность Функция является периодической с наименьшим положительным периодом 2π. Действительно, трем углам x, x+2π, x-2π на единичной окружности соответствует одна и та же точка M, следовательно, sin (x+2 π)=sin x, sin (x+2 π)=sin x, x є R, т.е. 2π - период функции y = sin x.

Четность и нечестность Функция y = sin x является нечетной. Пусть двум действительным числам α и -α соответствуют на единичной окружности точки М и N. Ординаты точек М и N равны по абсолютной величине, но отличаются знаками. Поэтому sin(- α)=sin(α). Следовательно, sin x - функция нечетная.

Знаки функции Непосредственно из определения функции следует, что она положительна в I и II четвертях, т.е. при x є (0;π) и отрицательна в III и IV четвертях, т.е. при x є (π;2 π).

Точки экстремума Наибольшее значение, равное 1, достигается в точках x = π/2 + 2 πn, n є Z; наименьшее значение, равное -1, достигается в точках x = - π/2 + 2 πn, n є Z. Промежутки возрастания и убывания Функция y = sin x возрастает при x є [-π/2; π/2] и убывает при x є [π/2; 3π/2].

График функции y = sin x (синусоида)

Определение, свойства и график функции косинус Определение косинусаОпределение косинуса Свойства функции y=cos(x) –знаки функциизнаки функции –точки экстремума, промежутки возрастания и убыванияточки экстремума, промежутки возрастания и убывания –график функцииграфик функции

Определение косинуса Косинусом угла α называется число, равное абциссе конца единичного радиуса, соответствующего углу α, и обозначается cos α. Таким образом, по определению cos α = a.

Знаки функции

Точки экстремума Наибольшее значение, равное 1, достигается в точках x = 2 πk, k є Z; наименьшее значение, равное -1, достигается в точках x = π(2k+1), k є Z. Промежутки возрастания и убывания Функция y = cos x возрастает при x є [π+2 πn; 2π+2 πn] и убывает при x є [2πn; π+ 2πn].

График функции y = cos x (косинусоида)

Определение, свойства и график функции тангенс Определение тангенсаОпределение тангенса Свойства функции y=tg(x) –области определений и значенийобласти определений и значений –периодичность, четность и нечетностьпериодичность, четность и нечетность –промежутки знакопостоянствапромежутки знакопостоянства –точки экстремума, график функцииточки экстремума, график функции

Определение тангенса Тангенсом угла α называется число, равное отношению sin α к cos α, причем α π/2+ πn, n є Z.

Функция y=sin x Областью определения Так как sin x и cos x определены на R, то область. определения tg x является множество R за исключением точек x = π/2+ πn, n є Z, в которых cos x=0. Область значений E(f)=R, числа a и b принадлежат промежутку [-1;1]. Кроме того, выполняется равенство

Периодичность Функция tg x - периодическая с наименьшим положительным периодом π. Действительно, для любого x є D (tg x) имеем Четность и нечетность Тангенс – нечетная функция. Действительно, для любого x є D (tg x) имеем

Промежутки знакопостоянства при.

Точки экстремума и график функции tg x Точек экстремума функция y = tg x не имеет, поскольку является монотонно возрастающей на каждом интервале (-π/2+ πn, π/2+ πn) n є Z..

Арксинус и его свойства Арксинусом числа a (|a|1) называется такой угол α, принадлежащий отрезку [-π/2; π/2], синус которого равен a. Обозначается этот угол arcsin a. Читается так: угол, синус которого равен a.

Область опрделения функции y = arcsin x – отрезок [-1;1] Область значений – отрезок [-π/2; π/2]. График функции y = arcsin x симметричен графику функции y = sin x, относительно прямой y = x.

Арккосинус и его свойства Арккосинусом числа a (|a|1) называется такой угол α, принадлежащий отрезку [0; π], косинус которого равен a. Обозначается этот угол arccos a. Читается так: угол, косинус которого равен a.

Область опрделения функции y = arccos x – отрезок [-1;1] Область значений – отрезок [0; π]. График функции y = arccos x симметричен графику функции y = cos x, относительно прямой y = x

Формулы приведения Формулы приведения позволяют вычислять значения тригонометрических функций sin x, cos x, tg x, ctg x произвольного аргумента через значения тригонометрических функций острого угла.

Формулы приведения

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента Основное тригонометрическое тождество:

Косинус, синус суммы и разности двух аргументов Для любых двух углов α и β справедливы тождества:

Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов Для любого угла α справедливы тождества:

Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов

Литература и другие источники 1.Ш.А. Алимов и др. «Алгебра и начала анализа», учебник для классов; 2.Б.В. Гнеденко и др. «Энциклопедия юного математика», 1989 г.; 3.Интернет сайт 4.Интернет сайт