Действительные числа

Квадратный корень Квадратным корнем из числа а называется такое число t, квадрат которого равен а (а 0): t 2 = a. Числа 8 и -8 – квадратные корни из 64, так как 8 2 = 64 и (-8) 2 = 64.

Арифметический квадратный корень Неотрицательный квадратный корень из числа а называется арифметическим квадратным корнем из числа а. Запись читают: «квадратный корень из числа а». Слово «арифметический» при чтении опускают.

Арифметический квадратный корень Знак « » называется знаком арифметического квадратного корня; выражение, стоящее под знаком квадратного корня, называется подкоренным выражением. Знак « » еще называют радикалом, от латинского слова radikalis – «коренной». 5а - с Знак арифметического квадратного корня Подкоренное выражение

Извлечение арифметического квадратного корня Извлечь арифметический квадратный корень из числа а – это значит найти значение выражения. Не существует квадратного корня из отрицательного числа. Следовательно выражение при а < 0 не имеет смысла. Выраженияне имеют смысла.

Иррациональные числа Иррациональные числа – это числа которые невозможно представить в виде, где m - целое число, n – натуральное число. Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа Все числа – рациональные и иррациональные образуют множество действительных чисел. Это множество обозначается буквой R.

Связь между числовыми множествами Действительные числа, R РациональныеИррациональные числа, Q числа ЦелыеДробные числа, Z числа Натуральные Число Числа числа, N нуль (0) противоположные натуральным

Действия над действительными числами Над действительными числами можно выполнять арифметические действия; они удовлетворяют тем же свойствам, что и действия над рациональными числами. 1.Сложениеa + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a + 0 = 0 + a = a; a + (-a) = (-a) + a = 0. 2.Вычитание a – a = 0; a – 0 = a; 0 – a = -a; (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c); a – (b + c) = (a – b) – c = (a – c) – b; a – (b – c) = (a – b ) + c = (a – c) + b.

Действия над действительными числами 3.Умножение a b = b a; (a b) c = a (b c); a 0 = 0 a = 0; a 1 = 1 a = а; a (-1) = -1 a = -а. 4.Деление a : 1 = a; a : a = 1; a : (-1) = -a; 0 : a = 0; a : (b c) = (a : b) : c = (a : c) : b; a : (b : c) = (a : b ) c = (a c) : b.

Сравнение действительных чисел Действительные числа можно сравнивать; для них справедливы те же свойства неравенств, что и для рациональных чисел. 1.Если а > b, то b < а. 2.Eсли а > b и b > c, то а > c. 3.Если а > b и с – любое число, то а + с > b + с. 4. Если а > b и с > 0, то ас > bс. 5. Если а > b и с < 0, то ас < bс.

Сравнение действительных чисел 6. Если а и b – числа одного знака и а > b, то. 7. Если а > b и с > d, то а + с > b + d. 8. Если а > b, b > 0, то а n > b n, n N ; 9. Если а, b, с, d – положительные числа и а > b, с > d, то ас > bd. 10. |а +b| |a| + |b|, |a| - |b| |а +b|.

Свойства действительных чисел Каждому действительному числу а на координатной прямой соответствует единственная точка А с координатой а, и наоборот, каждой точке А координатной прямой соответствует единственное число а. Множество всех действительных чисел называется числовой прямой. А В С D E x

Свойства действительных чисел Во множестве действительных чисел существует квадратный корень из любого неотрицательного числа.

Действия над действительными числами Упростить выражение Решение.

Действия над действительными числами Решить уравнение Решение. Но это не соответствует неравенству х 0. Таким образом данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней.

Действия над действительными числами Решить уравнение Решение. Но х 0. Таким образом корнем данного уравнения является число 3. Ответ: 3.

Числовые промежутки Условие, которому удовлетворяет число х Обозначение множества всех чисел х, удовлетворя- ющих этому условию Изображение этого множества на координатной прямой a < x < b(a, b) a x < b[a, b) a < x b(a, b] a x b[a, b] x abab x abab x abab x abab

Числовые промежутки Условие, которому удовлетворяет число х Обозначение множества всех чисел х, удовлетворя- ющих этому условию Изображение этого множества на координатной прямой x < a(-, a) x a(-, a] x > a(a, + ) x a[a, + ) (-, + ) x a x a x a x a х

Объединение промежутков Решая неравенство |х - 1| 2, получаем ответ х -1 или х 3. Это множество обозначается (-; -1] [3; +). Читается: «объединение промежутков (-; -1] и [3; +)» х ////////////////////////

Числовые промежутки х 7. (-; -6) [-3; 0) [2;7) (7; +) x /////////////////////////// //////////////////////////////////////////

Решение систем неравенств 1.х 0, х 5; х [-5; + ); 2.х 0, х < 1;x [0, 1); 3.x < -2, х 0.нет решений. 05x05x ////////////////////////////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\ 01x01x ////////////////////////////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ -2 0x /////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Нахождение области определения выражения Найти естественную область определения D выражения: Так как арифметический квадратный корень имеет смысл только при неотрицательных значениях подкоренного выражения и деление на нуль не имеет смысла, то х – 1 0,x 1, 2 – х > 0;x < 2. D = [1; 2). 12x12x ////////////////////////////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Тождество Теорема.При любом значении а имеет место равенство 1. х 0, х 5; 0 х 5; х [0;5] 2.

Квадратный корень из произведения Теорема.При любых значениях а 0 и b 0 верно равенство Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Избавление от иррациональности в знаменателе Если.

Квадратный корень из частного Теорема. При любых значениях а 0 и b > 0 верно равенство Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя.

1.Решить уравнение 2.Решить неравенства Квадратный корень из частного х = 3.

Вынесение множителя из-под знака корня Теорема. При любом значении а и при любом b 0 верно равенство

Внесение множителя под знак корня Теорема.Если а 0 и b 0, то. Если а < 0 и b 0, то.

Неравенства, содержащие квадратные корни Теорема.При любых неотрицательных значениях а и b: 1) 2) Решить неравенства: Ответ: [0; 6,25).Ответ: (169; + ).

Среднее арифметическое и среднее геометрическое Среднее арифметическое неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего арифметического. Среднее арифметическое Среднее геометрическое т.к.