Корень n-й степени

Квадратный корень Определение. Квадратным корнем из числа а называют число t, квадрат которого равен а. t 2 = a. Числа 8 и -8 – квадратные корни из 64, так как 8 2 = 64 и (-8) 2 = 64.

Корень n-й степени Определение. Корнем n-й степени из числа а называют число t, n-я степень которого равна а. t n = a. Числа 3 и -3 – корни 4-й степени из 81, так как 3 4 = 81 и (-3) 4 = 81. Число -5 – корень 3-й степени из -125, так как (-5) 3 = -125.

Арифметический корень n-й степени Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа а называется арифметическим корнем n-й степени из а. 2 – арифметический корень 4-й степени из числа 16, т.к. 2 > 0 и 2 4 = – не арифметический корень 4-й степени из числа 16. т.к. 2 < 0. Но 2 и -2 - корни 4-й степени из – арифметический корень 5-й степени из 243.

Обозначение корня 1.Если n – нечетное число. Если а 0, то - арифметический корень n-й степени из числа а. корень n-й степени из числа а (положительного, отрицательного или нуля). показатель корня подкоренное выражение арифметический корень 3-й степени из 7 арифметический корень 5-й степени из 12 корень5-й степени из 12

Обозначение корня 2.Если n – четное число. При четном n выражение имеет смысл только при а 0. арифметический корень n-й степени из числа а показатель корня подкоренное выражение - арифметические корни, а значит числа положительные.

Корень n-й степени Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа а. ( ). Во множестве действительных чисел существует два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны.

Когда n – четное, то при любом положительном значении а верно равенство Свойства корней n-й степени Когда n – нечетное, то при любом значении а верно равенство

Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть n - нечетное число. Пусть n - четное число. Тогда при любом значении а верны равенства:

Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть n и k - натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном значении а верны равенства: (При извлечении корня из корня подкоренное выражение остается прежним, а показатели корней перемножаются.) Сравнить числа и.

Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть k – целое число. Тогда при любом положительном значении а верно равенство: Решить уравнение: Решение. Тогда Ответ: 64;

Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть n – нечетное число. Тогда при любых значениях а и b верно равенство Пусть n – четное число. Тогда при любых а 0 и b 0 верно равенство

Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть n – нечетное число. Тогда при любых значениях а и b 0 верно равенство Пусть n – четное число. Тогда при любых а 0 и b > 0 верно равенство

Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть n – нечетное число. Тогда при любых значениях а и b верно равенство Пусть n – четное число. Тогда при любых значениях а и b 0 верно равенство

Вынесение множителя из- под знака корня Преобразование выражения к виду называется вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени. Преобразование выражения к виду называется вынесением множителя из-под знака корня четной степени.

Внесение множителя под знак корня Преобразование выражения к виду называется внесением множителя под знак корня нечетной степени. Преобразование выражения к виду называется внесением множителя под знак корня четной степени.

Корень n-й степени из произведения нескольких чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел. В частности, пологая в этом равенстве а 1 = а 2 = … = а k = а, получим Свойства корней n-й степени Теорема. Пусть n > 1 – нечетное число; а 1, а 2, …, а k - любые числа. Пусть n 2 – четное число; а 1, а 2, …, а k - любые неотрицательныые числа.

Свойства корней n-й степени n – нечетное числоn – четное число при любом апри а 0 при любом а при а = 0 при любых а и b если а и b одного знака при любых а и b при а 0 и b 0

Свойства корней n-й степени n – нечетное числоn – четное число при любых а и b при а 0 и b 0 при а < 0 и b 0 при любых а и b при любом а и b 0 при любых а и b 0 если а и b одного знака и b 0 при любых а и b 0 при а 0 и b > 0

Свойства корней n-й степени При любых натуральных значениях n 2 и k 2 для а 0 имеют место тождества: