Определители второго и третьего порядка

Цель курса Ознакомление учащихся с понятиями «определитель второго порядка», «определитель третьего порядка», с новыми методами решения систем 2-ух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение систем 2-ух линейных уравнений с тремя неизвестными; систем 3-ех линейных уравнений с тремя неизвестными. Научить школьников решать геометрические задачи с применением определителей (на объем параллелепипеда, объема тетраэдра и др.). Ознакомление учащихся с понятиями «определитель второго порядка», «определитель третьего порядка», с новыми методами решения систем 2-ух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение систем 2-ух линейных уравнений с тремя неизвестными; систем 3-ех линейных уравнений с тремя неизвестными. Научить школьников решать геометрические задачи с применением определителей (на объем параллелепипеда, объема тетраэдра и др.).

Основные задачи: - подготовить учащихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ; - подготовить учащихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ; - подготовить учащихся к поступлению в вуз; - подготовить учащихся к поступлению в вуз; - научить решать нестандартные задачи; - научить решать нестандартные задачи; - научить различным приемам, помогающим успешно справиться с заданиями централизованного тестирования; - научить различным приемам, помогающим успешно справиться с заданиями централизованного тестирования; - расширить представления учащихся о математике как науке. - расширить представления учащихся о математике как науке.

Курс состоит из трех частей: первая часть способствует формированию понятия определителей 2-го и 3-го порядка и изучение их свойств; первая часть способствует формированию понятия определителей 2-го и 3-го порядка и изучение их свойств; вторая часть отведена под решение систем 2-ух уравнений с тремя неизвестными и систем 3-ех уравнений с тремя неизвестными; вторая часть отведена под решение систем 2-ух уравнений с тремя неизвестными и систем 3-ех уравнений с тремя неизвестными; третья часть посвящена применению определителей при решении планиметрических и стереометрических задач. третья часть посвящена применению определителей при решении планиметрических и стереометрических задач. На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать умения по решению геометрических задач и систем уравнений, предложенных для самостоятельного решения. На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать умения по решению геометрических задач и систем уравнений, предложенных для самостоятельного решения.

Понятие определителя. Понятие определителя. Когда нам нужно записать сумму двух чисел а и b, мы используем знак «+» и пишем а + b, для записи разности двух чисел используется знак «-» и т.д. Большую роль в математике играет еще одна форма записи алгебраических действий, которая понадобиться для изучения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта форма записи так: а b с d с d

Итак, a b = ad – cb Итак, a b = ad – cb c d c d Числа a, b, c, d называются элементами определителя Числа a, b, c, d называются элементами определителя = 2*(-6) – (-5)*(-3) = -12 – 15 = = 2*(-6) – (-5)*(-3) = -12 – 15 = = -27 = -27

Определитель третьего порядка а) Определитель вида а) Определитель вида a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3 называется определителем третьего порядка. называется определителем третьего порядка. Его можно вычислить следующим образом Δ = a1b2c3 + a2b3c1 + a3c2b1 – a3b2c1 – b3c2a1 – a2b1c3 (2) Его можно вычислить следующим образом Δ = a1b2c3 + a2b3c1 + a3c2b1 – a3b2c1 – b3c2a1 – a2b1c3 (2) Для ее запоминания получено следующее правило Для ее запоминания получено следующее правило * * * * * * * * * * * *

. Вычислить определитель:. Вычислить определитель: Решение. Решение = 1*1*5 + 2*(-1)*0 + 3*2*2 – 3*1*0 – 2*(-1)*1 – 5*2*2 = -1. = 1*1*5 + 2*(-1)*0 + 3*2*2 – 3*1*0 – 2*(-1)*1 – 5*2*2 = -1.

Применение определителей к решению геометрических задач: -условие параллельности и пересечения прямых; -условие параллельности и пересечения прямых; -уравнение прямой, проходящей через две данные точки; -уравнение прямой, проходящей через две данные точки; -площадь треугольника, площадь многоугольника; -площадь треугольника, площадь многоугольника; -признак компланарности векторов; -признак компланарности векторов; -объем параллелепипеда; объем тетраэдра, нахождение высоты тетраэдра -объем параллелепипеда; объем тетраэдра, нахождение высоты тетраэдра

Задача Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(-3;2) Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(-3;2) Решение: Уравнение прямой имеет вид: ах + bу +с =0. Т. к. точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению: Решение: Уравнение прямой имеет вид: ах + bу +с =0. Т. к. точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению: а*1 + b*(-1) + с =0, а*(-3) +b*2 + с = 0, а*1 + b*(-1) + с =0, а*(-3) +b*2 + с = 0, Или а –b + с = 0, -3а + 2b +с =0 Или а –b + с = 0, -3а + 2b +с =0 Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: 3сх + 4су + с = 0. При любом с не равном 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде: 3х + 4у + 1 = 0 3сх + 4су + с = 0. При любом с не равном 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде: 3х + 4у + 1 = 0

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Прямая, проходящая через две данные точки А(х1;у1) и В(х2;у2) представляется уравнением: Прямая, проходящая через две данные точки А(х1;у1) и В(х2;у2) представляется уравнением: Х1 – х2 у2 – у1 Х1 – х2 у2 – у1 Х – х1 у – у1 = 0 Х – х1 у – у1 = 0

Составить уравнение прямой, проходящей через точки (1;5) и (3;9) Решение: Решение: – – 5 х – 1 у – 5 = 0, х – 1 у – 5 = 0, х – 1 У – 5 = 0, т. е. х – 1 У – 5 = 0, т. е. 2(у -5) – 4(х -1) = 0 2(у -5) – 4(х -1) = 0 2х – у + 3 = 0 2х – у + 3 = 0

Пример. Компланарны ли векторы m{1;0;2}, n{1;1;-1}, p{-1,2,4}? Решение. 1 способ. Векторы m и n не коллинеарны, т. к. координаты одного вектора не пропорциональны координатам другого. Если вектор p можно разложить по векторам m и n, то векторы m{1;0;2}, n{1;1;-1}, p{-1,2,4} компланарны. А если нельзя. То векторы некомпланарны. Т. о., для решения задачи нужно установить, существует ли числа х и у, такие, что p = xm + yn. Запишем это равенство в координатах: -1 = х + у; 2 = у; 4 = 2х – у. Из первого и второго уравнения находим х и у: х = -3; у = 2. Но эти значения х и у не удовлетворяют третьему векторы уравнению. Следовательно, вектор p нельзя разложить по векторам m и n, поэтому данные некомпланарны. Пример. Компланарны ли векторы m{1;0;2}, n{1;1;-1}, p{-1,2,4}? Решение. 1 способ. Векторы m и n не коллинеарны, т. к. координаты одного вектора не пропорциональны координатам другого. Если вектор p можно разложить по векторам m и n, то векторы m{1;0;2}, n{1;1;-1}, p{-1,2,4} компланарны. А если нельзя. То векторы некомпланарны. Т. о., для решения задачи нужно установить, существует ли числа х и у, такие, что p = xm + yn. Запишем это равенство в координатах: -1 = х + у; 2 = у; 4 = 2х – у. Из первого и второго уравнения находим х и у: х = -3; у = 2. Но эти значения х и у не удовлетворяют третьему векторы уравнению. Следовательно, вектор p нельзя разложить по векторам m и n, поэтому данные некомпланарны.

2 способ Компланарность векторов можно установить с помощью определителя Компланарность векторов можно установить с помощью определителя = 1*1*4 + 0*(-1)*(-1) + 1*2*2 – 2*1*(-1) – 1*(-1)*(-2) – 1*0*4 = 8. = 1*1*4 + 0*(-1)*(-1) + 1*2*2 – 2*1*(-1) – 1*(-1)*(-2) – 1*0*4 = 8. Т. к. определитель отличен от нуля, то векторы некомпланарны. Т. к. определитель отличен от нуля, то векторы некомпланарны.

Пример решения геометрической задачи ( из ЕГЭ 2007 ). Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(2;0;0), А2(0;3;0), А3(0;0;6), А4(2;3;8) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3.. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(2;0;0), А2(0;3;0), А3(0;0;6), А4(2;3;8) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Решение. Решение. Зададим векторы А1А2{-2;3;0}, A1A3{-2;0;6}, A1A4{0;3;8}. Зададим векторы А1А2{-2;3;0}, A1A3{-2;0;6}, A1A4{0;3;8} V = 1/ V = 1/ = 1/6 ( *3*(-2)-3*(-2)*8 = 1/6 (36+48) = 1/6*84 = 14. = 1/6 ( *3*(-2)-3*(-2)*8 = 1/6 (36+48) = 1/6*84 = 14. V = 1/3 SΔ A1A2A3 h, h = (3V)/ SΔ A1A2A3 V = 1/3 SΔ A1A2A3 h, h = (3V)/ SΔ A1A2A3 i j k i j k S Δ A1A2A3 = ½ | | S Δ A1A2A3 = ½ | | = ½ | 18i + 12j + 6k | = ½ = ½ 504 = = ½ | 18i + 12j + 6k | = ½ = ½ 504 = = ½ * 6 14 = Значит, h = (3*14)/3 14 = 14. = ½ * 6 14 = Значит, h = (3*14)/3 14 = 14.

Планируемые результаты: - овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; - овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; - развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложениях в будущей профессиональной деятельности; - развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложениях в будущей профессиональной деятельности; - овладение навыками компетентности личности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, в социально- трудовой и бытовой сфере; - овладение навыками компетентности личности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, в социально- трудовой и бытовой сфере; - формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения находить, формулировать и решать проблемы. - формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения находить, формулировать и решать проблемы.

Красота математической задачи в её краткости и логической стройности Красота математической задачи в её краткости и логической стройности К. Гаусс К. Гаусс