Лекции 3,4 Эффект Джозефсона

Разность фаз параметра порядка 1. Конденсат куперовских пар в СП-ке описывается единой комплексной волновой функцией – параметром порядка: = (r,t)= e i (1.1) 2. – энергия связи пар. Иногда обозначают, как ; = (r,t). 3. – фаза параметра порядка. 4. и =f(r, t) 5. Рассмотрим контакт двух сверхпроводников. Как мы знаем, у каждого своя фаза – 1, Введем разность фаз эти двух сверхпроводников на их границах = (r,t)= (3.1)

Стационарный эффект Джозефсона Первое свойство: Стационарный эффект Джозефсона состоит в том, что ток проходит через тонкий слой диэлектрика ( d

Зависимость фазы волновой функции от r 1) Ток (плотность тока) в сверхпроводнике определяется как j=(e /2m)N s (3.2) Здесь = / r (градиент), N s – концентрация «сверхпроводящих» электронов. Это выражение следует из общего квантовомеханического выражения j~ *- * при = e i, если = не меняется 2) Т.е. меняется в сверхпроводнике вдоль тока. И 0

Зависимость фазы волновой функции от r

Вывод основных уравнений Джозефсона Здесь 1 и 2 – волновые функции в левом и правом сверхпроводниках

Вывод основных уравнений Джозефсона Идея: скорость изменения волновой функции пар на одной стороне перехода зависит от мгновенных значений волновых функций по обе стороны перехода. Т.е., например, 1 / t~ 1 + 2, причем

Вывод основных уравнений Джозефсона 1. Пусть I > I c может быть. Т.е. V 0 на переходе. 2. Энергетическая схема такого перехода: И из (3.3) имеем i 1 / t=eV 1 +K 2 i 2 / t=-eV 2 +K 1 (3.4) Это уточнение (3.3)

Вывод основных уравнений Джозефсона (3.5) Здесь – плотность сверхпроводящих частиц (пар) (3.6) Здесь = 2 - 1

Вывод основных уравнений Джозефсона Пусть (для простоты) сверхпроводники одинаковы: – плотность числа частиц (пар) j=j c sin (3.7) Основное уравнение Джозефсона для тока: j c =j J =2K /ħ Для рассмотренной модели (слабая связь с коэффициентом К) : Величина К зависит от свойств обоих сверхпроводников и геометрии (толщины изолятора)

Вывод основных уравнений Джозефсона Из 3-его и 4-ого уравнений системы (3.6) следует (при равных справа числах 1 и 2 ): Второе фундаментальное уравнение, уравнение для фазы: Итак, (3.7) и (3.8) – основные соотношения для перехода Джозефсона. (3.8)

Стационарный эффект Джозефсона 1. «Стационарный» - ничего не зависит от времени t, т.е., например, (t). 2. В ур-нии для тока (3.7) нет времени явно, оно остается: j=j c sin Или I=I c sin. 3. А из выражения (3.8) следует V=0, =Const. Эта система уравнений (3.9) и есть основные уравнения стационарного эффекта Джозефсона (3.9)

Уравнение I=Icsinφ для мостика Асламазов-Ларкин получили для мостика выражение (случай L эфф

Величина Ic для мостика Пример для «грязного» предела (l

Зависимость тока Джозефсона от магнитного поля Н 1. При наличии поля Н ток в сверхпроводнике j=(e/m) (iħ/2)( *- * )-(2e/c)A 2 (3.10) B=rotA, A-векторный потенциал, 2е-заряд «частицы». 2. = е i, (r). Подставим в (3.10). Появится. Определим тогда из (3.10) этот градиент фазы: =(2e/ħc){A+(mc/2e 2 )j} (3.11) 3. Рассмотрим переход S-I-S

Зависимость тока Джозефсона от магнитного поля Н Поле Н по оси у, т.е. В у 0, B x =B z =0. Оно сосредоточено в переходе

Зависимость тока Джозефсона от магнитного поля Н Рассмотрим 2 близкие точки на переходе (переход тонок) А = 2 (А) - 1 (А), В = 2 (В) - 1 (В) Контур S через эти точки

Зависимость тока Джозефсона от магнитного поля Н Проинтегрируем (3.11) по контуру S (3.12) (3.13)

Зависимость тока Джозефсона от магнитного поля Н Правая часть (3.12):- поток в контуре S(3.14) Действительно, j 2 -j 1 = j, j dl-второй порядок малости Из (3.12)-(3.15) получим =(2е/ħс) Ф где Ф=B y d x, x=x A -x B – расстояние между точками А и В, d=d o , d o – толщина изолятора, 1, 2 – глубины проникновения поля в СП-и. Поле проникает и в металл!

Зависимость тока Джозефсона от магнитного поля Н Подставив Ф в, получим d /dx=(2ed/ ħс)B y. (3.16) Т.е. ~B, т.е. магнитному полю. Очень важный результат Проинтегрируем (3.16) по х: =(2ed/ ħс)B y x+ o. (3.17) Здесь o =Const, это фаза в точке, принятой нами за начало отсчета. Вывод: поскольку j=j c sin, то при наличии поля плотность тока разная в разных точках перехода ( = (х))

Максимальный ток через переход как функция Н S=a x a y – прямоугольный переход Полный ток через переход: Здесь: начало интегрирования в центре, dx dy – элемент площади, B y 0, = (x) – см. (3.17), j c – максимальная плотность тока без поля (3.18)

Максимальный ток через переход как функция Н В (3.18) мы обозначили максимальный ток как I m. Это критический ток, но в поле Н 0. Из (3.18) находим Ф=B y a x d А Ф о =hc/2e= Гс см 2 (CGSM) I c =j c a x a y - максимальный ток без поля

Максимальный ток через переход как функция Н Так максимальный ток зависит от поля (потока в переходе)

Джозефсоновская глубина проникновения Считаем, Н внеш =0, В у 0, В у – поле собственного тока Считаем также, что только В у 0, а В х =0

Джозефсоновская глубина проникновения d /dx=(2ed/ħc)H y (см. формулу 3.16)(3.20) Здесь заменили В у Н у (в переходе-диэлектрике =1); d=d o – «эффективная» толщина барьера. 3) В диэлектрике-переходе справедливы уравнения Максвелла: rotH = (4 /c)j + (1/c) D/ t (3.21) Сейчас мы пренебрежем емкостью перехода, и значит токами смещения D/ t. Для принятой геометрии (3.21) будет dH y /dx = (4 /c)j z Полная производная, т.к. у нас только Н у 0 Сюда подставим Н у из (3.20) (ħс 2 /8 ed)d 2 /dx 2 = j z = j c sin

Джозефсоновская глубина проникновения Это можно переписать как d 2 /dx 2 =sin / J 2 где J имеет размерность длины Вообще-то и Н х 0, поэтому в общем случае в (3.22) должен быть и член d 2 /dу 2 (3.22) (3.23) (3.22А) Это уравнение Феррела-Прейнджа

Джозефсоновская глубина проникновения Если мало (обычно все же собственные токи и создаваемые ими поля Н малы), то (3.22) будет: Решение этого уравнения (за начало координат возьмем точку с максимальным током): = о exp(-x/ J )(3.24) Здесь о -фаза в начале координат (где ток максимален). Видно, что ток экспоненциально затухает с ростом х. Т.е. J -это глубина проникновения Джозефсоновских токов в большой переход

Джозефсоновская глубина проникновения Оценка J: j c =1A/cm 2 d=d o + L1 + L2 ~10 3 Å Подставьте в формулу (3.23) для J. Получим J =0.5мм (типично 0.1-1мм)