Цилиндр Конус и усечённый конус Шар и сфера

Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, называется цилиндром.

Наклонный цилиндр – цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований.

Пусть R – радиус основания; H – высота цилиндра, тогда S бок =2πRH S полн =S бок +2S осн =2πRH + +2πR 2 =2πR(R+H) V=πR 2 H Основные формулы

Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащий его катет, называется прямым круговым конусом.

Если R – радиус основания, H - высота, L– обра- зующая конуса, то V=1/3πR²H S бок =πRL S полн =S бок +S осн =πRL+ +πR²=πR(L+R) Основные формулы

Часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания, называется усеченным конусом.

Формулы: Здесь h – высота усеченного конуса; R и R 1 – радиусы его верхнего и нижнего оснований; l – его образующая

Определение. Фигура, полученная в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется сферой.

OS, ON, OC, OD – радиусы; NS, CD – диаметры шара; C и D, N и S – диаметрально противоположные точки

Архимед считал, что объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного около него цилиндра: V ш =4/3πR³.

Площади сечений: S ц, S ш, S к. S ц =4πR²; S ш =π[CE]², где [CE]²=[EO]²-[OC]²=R²- -(x-R)²=2Rx-x²; S к =π[CD]²= πx²

R – радиус шара V шара =4/3πR³ S сферы =4πR²

Пусть A – центр(a; b; c) MA – радиус, тогда MA²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²; (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Тор образуется при вращении окружности вокруг не пересекающей её прямой, лежащей в плоскости окружности. Если «заполнить» тор, то получится тело вращения, называемое полноторием.

Если r – радиус окружности, R – расстояние от её центра до оси, то V=2πR πr²=2π²Rr²; S поверх =4π²Rr.

Интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем: