Циклические перестановки Работу выполнили ученики 9 класса Мухиева Светлана и Летюшова Ольга

Задача: Найти шестизначное число, записанное различными цифрами, которое при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает шестизначное, записанное теми же цифрами, но в другом порядке.

Решение: Путем цепочки несложных рассуждений о сохранении шестизначности, четности и нечетности цифр и учёта признаков делимости, находим это число : = = = = = = В произведениях круговая перестановка цифр первоначального числа.

Если сложить попарно 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 произведение, то в результате будет : = (1+6)= = = (2+5)= = = (3+4)= =999999

Продолжим первоначальную последовательность: = (142857) = (285714) = (142857) = (571428) = (714285) = (857142) = () = (142857) = (285714) = (428571) = (571428) = (714285) = (857142) …………………… = (714285)

Если в семизначных произведениях первую цифру прибавить к последней, в восьмизначных две первые к двум последним и так далее, например, = , (428571) то цикличность продолжается. Только произведение чисел кратных 7-ми выпадают из общей закономерности, они же и являются нитью, которая ведет к разгадке тайны круговых чисел. Так как 7 · = , то легко сделать вывод, что число представляет собой период дроби при превращении её в десятичную. Все свойства числа мы найдём в каждом числе, составляющем период дроби, если в этом периоде (р-1) цифр, а р простое. Круговые числа дают, например, дроби

Если период, полученный при обращении дроби (где р – простое число) в десятичную дробь, насчитывает цифр, то мы будем иметь дело с другим типом круговых чисел. Умножая этот период на числа от 1 до р-1, получим две группы круговых чисел. Продемонстрируем на примере.

1 · w = · w = · w = · w = · w = · w = обозначим период буквой w, тогда: Итак, «цикличность» числа объясняется тем, что оно является периодом десятичной дроби, полученным при переводе из обыкновенной. 7 · w = · w = · w = · w = · w = · w =923076