Уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.

Если все решения первого уравнения являются решениями второго уравнения (множество решений первого уравнения является подмножеством решений второго уравнения), то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Преобразования, приводящие к равносильным уравнениям Прибавление к обеим частям уравнения или вычитания из обеих частей его одного и того же выражения, всегда имеющего смысл; Перенесение выражения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; Если уравнение приводится к виду F(x)*G(x)=0, то оно равносильно совокупности двух систем: F(x)=0 G(x)=0 G(x) существует F(x) существует Уравнение F, равносильно совокупности двух уравнений

Преобразования приводящие к следствию данного уравнения Отбрасывание общего знаменателя т.е. переход от уравнения к уравнению; Возведение обеих частей уравнения в четную положительную степень с одним и тем же показателем; Переход от уравнения к совокупности уравнений Потенцирование те переход от уравнений типа соответственно к уравнениям