Рассмотрим вписанные в окружность правильный: - треугольник- четырехугольник - восьмиугольник- шестиугольник Легко заметить, что чем больше сторон у многоугольника, вписанного в окружность, тем меньше его периметр отличается от длины окружности. Очевидно, что при бесконечно большом значении п ( количестве сторон и углов п-угольника), периметр п-угольника и длину окружности можно считать равными.

Воспользуемся этим выводом для доказательства следующей теоремы. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. величина постоянная. Дано :ω 1 (О 1 ; R 1 )и ω 2 (О 2 ; R 2 ); Доказать: Доказательство. l 1 - длина окружности ω 1 и l 2 - длина окружности ω 2. l1l1 l2l2 2R22R2 2R12R1 = Предположим, что в окружности вписаны правильные п-угольники Р 1 и Р 2 соответственно с бесконечно большим количеством сторон п. Их периметры р 1 и р 2 соответственно, Правильные п-угольники подобны,следовательно р1р1 р2р2 R1R1 R2R2 =Поменяв местами средние члены пропорции, получим: р1р1 р2р2 R1R1 R2R2 = Заменив р 1 на l 1, а р 2 на l 1, получим: l1l1 l2l2 R1R1 R2R2 =или l1l1 l2l2 2R12R1 2R22R2 = причем р 1 = l 1 и р 2 = l 2.

Отношение длины окружности к диаметру обозначается греческой буквой π. π 3,1416… Так как l 2R2R = π,то l = 2πR - формула длины окружности