Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны равны, то они равны. Докажем второе утверждение теоремы. А4А4 А2А2 А1А1 А3А3 В4В4 В2В2 В1В1 В3В3 С Дано: А 1 А 2 А 3 …; В 1 В 2 В 3 … - правильные п-угольники, А 1 А 2 = В 1 В 2. Доказать: А 1 А 2 А 3 … = В 1 В 2 В 3 … Доказательство. Достроим и рассмотрим треугольники А 1 А 2 А 3 и В 1 В 2 В 3. А 1 А 2 = В 1 В 2 (по условию), А 2 А 3 = В 2 В 3 ( по условию), А 2 = В 2 (углы правильных п-угольников), значит А 1 А 2 А 3 = В 1 В 2 В 3 Подвергнем п-угольник А 1 А 2 А 3 … движению, при котором А 1 А 2 А 3 перейдет в В 1 В 2 В 3. При этом точка А 4 перейдет в некоторую точку С. Но движение сохраняет углы и расстояния, значит В 2 В 3 С = А 2 А 3 А 4,но В 2 В 3 В 4 = А 2 А 3 А 4 также В 3 С =А 3 А 4,но В 3 В 4 = А 3 А 4,следовательно В 4 совпадает с точкой С, Аналогично доказывается, что А 5 В 5 и т. д., т. е. А 1 А 2 А 3 … В 1 В 2 В 3 в результате некоторого движения, тогда А 1 А 2 А 3 … = В 1 В 2 В 3 … т. е. А 4 В 4.

Для доказательства первой части утверждения подвергнем п-угольник А 1 А 2 А 3 … преобразованию подобия, например гомотетии. Пусть коэффициент гомотетии к = В1В2В1В2 А1А2А1А2 При этом получим многоугольник С 1 С 2 С 3 …с такими же сторонами как у многоугольника В 1 В 2 В 3 …, По построению А 1 А 2 А 3 … С 1 С 2 С 3 … преобразованием подобия, значит А 1 А 2 А 3 … С 1 С 2 С 3 …,но т. к. С 1 С 2 С 3 … = В 1 В 2 В 3 …, то и А 1 А 2 А 3 … С 1 С 2 С 3 … Теорема полностью доказана. тогда С 1 С 2 С 3 … = В 1 В 2 В 3 … ( см. 1-ю часть доказательства теоремы).