Действия с комплексными числами в алгебраической форме. (а +вi) + (с + di) = (а + с) + (в + d)i (а +вi) (с + di) = (ас – вd) + (аd + вс)i а +вi с + di ас + вd с² + d² вс - аd =+i

Комплексное число z = x + у i задается упорядоченной парой чисел (х; у). Пара чисел (х; у) задает на плоскости некоторую точку М(z). Очевидно, что каждая точка плоскости – это геометрическое изображение комплексного числа и наоборот: каждому комплексному числу в соответствует некоторая точка плоскости. х у 1 z = i Примеры. 2 3 z t = i t

Принято вместо точки на плоскости комплексному числу ставить в соответствие радиус-вектор с началом О(0; 0) и концом (х; у). М(х; у) х у

Положение точки в координатной плоскости можно задавать указав: расстояние от точки да начала координат и величиной угла между осью ОХ и радиус-вектором. Пример. х у. М п/4 Длина радиус-вектора – 3 единичных отрезка, угол между осью ОХ и радиус вектором – п/4, тогда точка М имеет полярные координаты (3, п/4). Чтобы определить полярные координаты точки на плоскости надо 1) определить длину радиус-вектора (в единичных отрезках), 2) определить величину угла между осью ОХ и радиус-вектором.

01 P(φ) φ r. х х у у М(х; у) Очевидны равенства: Полярные координаты точки М (r; Φ). cos φ =x/r sin φ = у/r х² + у² = r² Данные равенства позволяют находить полярные координаты, зная декартовы и наоборот. В частности, значение φ можно найти по формуле tg φ = х/у. Пример. Если М(3; -1), то r = (3)² + (-1)² = 2 Получаем, cos φ = 3/2,sin φ = -1/2,откуда φ = -п/6. Итак, полярные координаты точки М равны (2; -п/6)..

Длина радиус вектора точки М, изображающей комплексное число z, называется модулем этого числа, а полярная координата – аргументом (или фазой) комплексного числа z. Из отношения cos φ =x/r, x = r cos φ, Из отношения sin φ = у/r, у = r sin φ. Тогда z = (х; у) = r cos φ +risin φ )= r(cos φ + i sin φ ), где r – модуль числа, φ – аргумент этого числа Запись вида r(cos φ; sin φ ) – тригонометрическая форма записи комплексного числа z. Определение.

Найти тригонометрическую запись чисел: 3 – i, -6; -2(cosп/5 - isinп/5).

Решение. Представить в алгебраической форме число 4(cos(-п/4) – isin(-п/4)). x = r cos φ r = 4,φ = - п/4, = 4 cos(-п/4) = 2 2, у = r sin φ= 4sin(-п/4) = -22, тогда z = i. Ответ: i.

При умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е. zt = r(cos φ + i sin φ )R(cos ω + i sin ω ) = r R ( cos (φ + ω)+ I sin(φ + ω) ). При делении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. r(cos φ + i sin φ ) R(cos ω + i sin ω) Rr (cos (φ - ω)+ I sin(φ - ω)).= z = r

При возведении комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в степень с натуральным показателем п, модуль степени равен степени с тем же показателем, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на п. z п =(r(cos φ + i sin φ )) пп = r(cos пφ + i sinп φ ).