Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУпонедельник, 16 декабря 2013 г.

Раздел V Колебания и волны

Тема 3. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 3.1 Свободные затухающие механические колебания 3.2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания 3.3 Вынужденные механические колебания 3.4 Автоколебания Сегодня: понедельник, 16 декабря 2013 г.

3.1 Свободные затухающие механические колебания Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний уменьшается. Сила трения (или сопротивления) где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения

Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x где kx – возвращающая сила, – сила трения. Введем обозначения ; (3.1.1) Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при) )

(3.1.2) Найдем частоту колебаний ω. ;; условный период Решение уравнения (3.1.1) имеет вид

3.2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания где β – коэффициент затухания Рисунок 1

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т. ; откуда Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, τ – время релаксации.

Когда сопротивление становится равным критическому ато круговая частота обращается в нуль ( ), ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим: Рисунок 2

Отличия в следующем. При колебаниях, тело, возвращающееся в положении равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления трения.

3.3 Вынужденные механические колебания Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила: – основное уравнение колебательного процесса, при вынужденных колебаниях (3.3.1)

Уравнение установившихся вынужденных колебаний (3.3.2) Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой. – амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы Введем обозначения:

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов: Из рисунка 3 видно, что Рисунок 3

(3.3.4) Проанализируем выражение (3.3.4). 1)(частота вынуждающей силы равна нулю) – статическая амплитуда, колебания не совершаются. 2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ), амплитуда растет и при, амплитуда резко возрастает (). Это явление называется – резонанс. При дальнейшем увеличении () амплитуда опять уменьшается. (Рисунок 4 ) 3) – резонансная частота

- явление резонанса – резонансная частота Рисунок 4

– резонансная частота. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к называется резонансом. Для консервативной системы, т.е. для диссипативной несколько меньше собственной круговой частоты. С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при

3.4 Автоколебания Наблюдая колебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра. Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями.

Принцип работы всех автоколебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рисунке 5 Рисунок 5 Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи.

В конструкции часового механизма (рисунок 6) присутствует специальное устройство – анкер, выполняющий роль ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в колебание самим маятником часов. Рисунок 6 Важно отметить, что любая автоколебательная система нелинейна.

Колебания механическиеэлектромагнитные Дифференциаль- ное уравнение Масса Индуктивность катушки Коэффициент жесткости Обратная величина емкости СмещениеЗаряд СкоростьСила тока Потенциальная энергия Энергия электрич. поля Кинетическая энергия Энергия магнитного поля

Собств. частота пружинного маятника Собств. частота колебательного контура Период колебаний Период колеб. Формула Томсона Циклич. частота затухающих колебаний Коэффициент затухания Логарифмич. декремент затухания Логарифмич. декремент затухания Добротность пружинного маятника Добротность колебательного контура Резонансная частота

28