Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУпонедельник, 16 декабря 2013 г. Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика

Тема 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 4.1 Переменный ток 4.2 Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления 4.3 Свободные затухающие электрические колебания 4.4 Вынужденные электрические колебания Сегодня: понедельник, 16 декабря 2013 г. 4.5 Работа и мощность переменного тока 2

4.1 Переменный ток При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися во времени – переменными токами: I = I 0 sin( t + ) Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока. 3

4 Электромагнитные сигналы распространяются по цепи со скоростью света с. Пусть l – длина электрической цепи. Время распространения сигнала в данной цепи Если то такие токи называются квазистационарными (Т – период колебаний тока). При этом условии мгновенное значение силы тока во всех участках цепи будет постоянным. Для частоты условие квазистационарности будет выполняться при длине цепи ~ 100 км. Рассматривая в дальнейшем электрические колебания, мы будем считать, что токи квазистационарны.

1. Сопротивление в цепи переменного тока Ток в цепи I = I 0 sin t ; По закону Ома: U = IR = I 0 R sin t - напряжение изменяется синфазно с током; U 0 = I 0 R - амплитуда напряжения. С, L пренебрежимо малы Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:

2. Емкость в цепи переменного тока Ток в цепи: I = I 0 sin t, По определению Заряд конденсатора: Напряжение отстает по фазе от тока на π/2 -амплитуда напряжения R 0, L 0 -кажущееся сопротивление емкости

3. Индуктивность в цепи переменного тока Рассмотрим цепь с R 0 при наличии переменного тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции: По закону Ома для участка цепи с ЭДС: U = IR – ε C = - ε C Напряжение опережает по фазе ток на π/2 -амплитуда напряжения Кажущееся сопротивление индуктивности (основа работы дросселей)

4. Закон Ома для переменного тока Напряжение при последовательном соединении R, L, C : Сумма - реактивная составляющая напряжения - активная составляющая напряжения

Амплитуда напряжения: Результирующее колебание: U = U 0 sin ( t + ) Фаза: lLlL - закон Ома для переменного тока

Полное сопротивление цепи: Х = - реактивное сопротивление R – активное (омическое) сопротивление R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи. X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.

Элементы цепи и соответствующие им импедансы: Закон Ома в комплексной форме - параллельного Импеданс соединений: - последовательного

4.2 Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления Цепь, содержащая индуктивность (L) и ёмкость (С) называется колебательным контуром. Рисунок 1 Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток. Т.к. R=0, то полная энергия контура E=const 12

13 Если энергия конденсатора равна нулю (потенц. энергия), то энергия магнитного поля максимальна (кинетич.) и наоборот...

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что: энергия электрического поля энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии; Индуктивность L играет роль массы т 1/С – роль коэффициента жесткости k Заряду q соответствует смещение маятника х Силе тока I ~ скорость υ Напряжению U ~ ускорение а аналогична потенциальной энергии упругой деформации 14

В соответствии с законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии) (4.2.1) R = 0 (4.2.2) (4.2.3) Вновь мы получили диф. ур. второго порядка: Решение уравнения - гармоническая функция: 15 Собственная частота контура

Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω 0 – собственная частота контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона: (4.2.4) 16

Закон Ома для контура На емкости ток опережает напряжение на π/2. На индуктивности наоборот напряжение опережает ток на π/2. 17 – волновое сопротивл. [Ом]. Напряжение на конденсаторе Ток в цепи: Амплитуда тока

4.3 Свободные затухающие электрические колебания Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают. Рисунок 3 18

По второму закону Кирхгофа решение этого уравнения имеет вид: Уравнение свободных затухающих колебаний в контуре R,L и C - коэффициент затухания - собственная частота контура 19 или Частота затухающих колебаний

Вид затухающих колебаний заряда q и тока I: Колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ. 20

Рисунок 4 Логарифмический декремент затухания 21 Декремент затухания

R, L, ω – определяются параметрами контура, следовательно, и χ является характеристикой контура. Если затухание невелико 22 Т.к. коэффициент затухания Период затух. колебаний Тогда

пропорциональная χ (Чем меньше затухание, тем выше добротность) Добротность колебательного контура Q определяется как величина обратно то W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом 23 Число колебаний совершаемых за время затухания Время затухания – время за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз

т.е. при Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением: При апериодический разряд 24 (Т ): Колебаний не будет Критическое сопротивление

4.4 Вынужденные электрические колебания К контуру, изображенному на рис. подадим переменное напряжение U : (4.4.1) (4.4.2) уравнение вынужденных электрических колебаний совпадает с вынужденными механическими колебаниями. 25

Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением механических колебаний. Решение уравнения при больших t: (4.4.3) Здесь амплитуда колебаний заряда: 26

Как мы уже говорили величина сопротивлением цепи (импеданс) называется полным а величина – реактивным сопротивлением. R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи. X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω. 27

Резонанс напряжений ( последовательный резонанс ) При этом угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль (φ = 0) При последовательном соединении R, L, С, при – наблюдается резонанс. и, а U C и U L одинаковы по амплитудеТогда и противоположны по фазе. Такой вид резонанса называется резонансом напряжения или последовательным резонансом. 28

Таким образом, при последовательном резонансе, на ёмкости можно получить напряжение с амплитудой в узком диапазоне частот. Этот эффект широко используется в различных усилительных устройствах. 29

Резонансом токов (параллельный резонанс). В цепях переменного тока содержащих параллельно включенные ёмкость и индуктивность наблюдается другой тип резонанса: 30 I 2 =I m2 cos(ωt - φ 2 )

(4.4.6.) При R = 0, L = 0: tg φ 1 = - т.к. φ 1 = (2n +3/2 )π, где n = 1,2,3…. Аналогично, при R =0, C =: I 2 =I m2 cos(ωt - φ 2 ) (4.4.7) I m2 = U /ωL tg φ 2 = +, т.е. φ 2 = (2n + 1/2 ) π где n = 1,2,3….. 31

Из сравнения (4.4.6) и (4.4.7) вытекает, что разность фаз в ветвях цепи т.е. токи противоположны по фазе (4.4.8) Если, и то 32 Ёмкость конденсатора можно подобрать так, что в результате резонанса ток в подводящих цепях резко уменьшается, зато ток через индуктивность возрастёт

Явление уменьшения амплитуды тока во внешней цепи и резкого увеличения тока в катушке индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения ω к ω рез называется резонансом токов, или параллельным резонансом (Используется в резонансных усилителях, приемниках, а также в индукционных печах для разогрева металла). 33

Работа и мощность переменного тока 1. При наличии только активного сопротивления: (вся работа переходит в тепло): Напряжение на концах участка цепи: U = U 0 sin t Переменный ток в цепи: I = I 0 sin t Мгновенное значение мощности: P t = IU = I 0 U 0 sin 2 t

35 Работа переменного тока за dt: A = P t dt = I m U m sin 2 t dt Работа переменного тока за период Т: Cредняя мощность или Действующие (или эффективные) значения тока и напряжения:

При наличии реактивного сопротивления - колебания мгновенной мощности с переменой знака (средняя мощность уменьшается) Работа переменного тока за период Т: Cредняя мощность: Cos - коэффициент мощности. При сos = 0 Р = 0

Колебания механическиеэлектромагнитные Дифференциаль- ное уравнение Масса Индуктивность катушки Коэффициент жесткости Обратная величина емкости СмещениеЗаряд СкоростьСила тока Потенциальная энергия Энергия электрич. поля Кинетическая энергия Энергия магнитного поля

Собств. частота пружинного маятника Собств. частота колебательного контура Период колебаний Период колеб. Формула Томсона Циклич. частота затухающих колебаний Коэффициент затухания Логарифмич. декремент затухания Логарифмич. декремент затухания Добротность пружинного маятника Добротность колебательного контура Резонансная частота

39