«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» Разработала учитель математики Батрукова Светлана Вячеславовна Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 2 с углубленным изучением английского языка»

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствуют наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение – гармоническая пропорция В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a:b=c:d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: - на две равные части – АВ:АС=АВ:ВС; - на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); - таким образом, когда АВ:АС=АС:ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. a:b=b:c или c:b=b:a Золотое сечение – гармоническая пропорция

Отрезки золотой пропорции Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью a=0,382…и b=0,618…, если c принять за единицу. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,88. Если отрезок c принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор ( 6 в. до н.э.). Есть предположение, что свое знание он позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

История золотого сечения Приблизительно в 440 г. до нашей эры в Афинах строят Парфенон. На фасаде этого древнегреческого храма также присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

История золотого сечения В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида (3 в. до н.э.). Во второй книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления, а в следующих книгах Евклид использовал эту пропорцию для построения правильных многоугольников и многогранников. Особенно тесно связано золотое деление и правильные пятиугольники, выпуклый и невыпуклый. Последний в житейской практике называют пятиконечной звездой, а в науке – пентаграммой.

История золотого сечения Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Наибольшее распространение получил способ построения, который разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер ( ) Соединяя углы пятиугольника через один диагоналями, получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36º при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

История золотого сечения После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (2 в. до н.э.), Папп (3 в. до н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

История золотого сечения В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В 1509 году в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции.

История золотого сечения Леонардо да Винчи действительно много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

История золотого сечения В то же время, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер, подробно разрабатывая теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.

История золотого сечения Великий астроном 16 века Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя закон золотого сечения. Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, - писал он,- что два младших члена этой нескончаемой пропорцией в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Принципы формообразования в природе Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Принципы формообразования в природе В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Принципы формообразования в природе И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

В конце 19 – начале 20 вв. появилось немало чисто формалистических теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Ряд Фибоначчи С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. При решении одной из задач он получил ряд чисел: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 и т.д. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Ряд чисел Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ряд Фибоначчи Ученые продолжают активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Возникают изящные методы решения ряда задач, например, кибернетических (теории поиска, игр, программирования). Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Хочешь узнать больше о золотом сечении? henir.php henir.php