ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Действительные числа Рациональные числа Целые числа Комплексные числа Натуральные числа

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, N 1, 2, 3, 4, 5, … Допустимые алгебраические операции: сложение, умножение , 45 Х 15 Частично допустимые алгебраические операции: вычитание, деление, извлечение корней 6 - 5, 45 : 15, Уравнения 2х + 7 = 8, 5х = 9, = 15 не имеют корней в N

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, Z …-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, … Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение , 4 – 15, 18 х 2 Частично допустимые алгебраические операции: деление, извлечение корней (- 6) : ( - 2), Уравнения 16х = 9, 2 = 60 не имеют корней в Z

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, Q Целые числа и обыкновенные дроби Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление , 8 – 34, ( - 22) Х 14, 30 : 23 Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из неотрицательных чисел Уравнения = 5, 2 = 9 не имеют корней в Q

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, R Рациональные и иррациональные числа Допустимые алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел , ( - 2) Х ( - 514), ( - 36) : 41, Частично допустимые алгебраические операции: извлечение корней из произвольных чисел Уравнения = - 5, - 2 = 9 не имеют корней в R

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, C Действительные числа и i, где i – мнимая единица Допустимы все алгебраические операции

Из истории комплексных чисел Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Из истории комплексных чисел Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Так с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию парения, показал как можно рассчитать подъёмную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолёта. Именно поэтому нам следует расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

Чисто мнимые числа i; 2i; - 0,9i; 18,9i; i; i; i 0 i = 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. z = a + bi C a R, b R, i – мнимая единица Число а называют действительной частью комплексного числа z, b – мнимой частью комплексного числа z

Алгебраическая форма комплексного числа z = a + bi Если а = 0, то a + bi = 0 + bi = bi bi – чисто мнимое число Если b = 0, то bi = 0 х i = 0, а значит a + bi = а + 0 = а а – действительное число

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и равны их мнимые части: a + bi = с + di a = c, b=d

Устная работа Назовите пары равных между собой комплексных чисел: а) -3+2i и 3+2i; б) 0,4+3,1i и 0,4+3i; в) 6-i и –i+6; г) 5,8-6i и -6i-5,8; д) 12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) -10+3/2i и -10+1,5i ; з) 2/5+7i и 7i+0,4; и) -108+i и i-10,8; к) 6/8+iх0 и 6/8.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 Два комплексных числа z = а + bi и - z= - a – bi называются противоположными. Сумма двух противоположных чисел равна 0: z + (–z) = 0

Устная работа Назовите пары противоположных комплексных чисел: а) -8+i и -8+2i; б) -0,4+3i и 0,4-3i; в) 9-i и –i+9; г) 5,8-6i и 6i-5,8; д) -12,4 и 12,4i; е) 0 и iх0; ж) 57+3/2i и -57-1,5i ; з) 2/5-7i и 7i+0,4; и) -89,7+i и -i+8,97; к) 6/8+iх0 и -6/8.

Операции сложения, вычитания, умножения комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий Переместительному: (a + bi) + (с + di) = (с + di) + (a + bi) (a + bi) Х (с + di) = (с + di) Х (a + bi) Сочетательному: ((a+bi) + (с+di)) + (n+mi) = (a+bi)+ ((с+di) + (n+mi)) ((a+bi) х (с+di)) х (n+mi) = (a+bi) х ((с+di) х (n+mi)) Распределительному: ((a+bi) + (с+di)) х (n+mi) = (a+bi)х(n+mi) + (с+di)х(n+mi))

Операция сложения (вычитания) комплексных чисел + =(a + bi) + (с + di) = (а + с) + (bi + di) = = (а + c) + (b + d)i + (- )= (a + bi) - (с + di) = (а - с) + (bi + di) = = (а - c) + (b - d)i Пример. Найдите сумму и разность комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. + = (1 - 2 i) + ( – i) = (1 -3) + ( )i = i - = (1 - 2 i) - ( – i) = (1 +3) + ( )i = 4 - 6i

Операция умножения комплексных чисел Пример. Найдите произведение комплексных чисел = 1-2i, = -3+4i. В произведении следует раскрыть скобки и привести подобные члены: х = (1-2i ) х (-3+4i ) = i + 6i - 8 = = i + 8 = i. ( a + bi) x ( с + di ) = (ac – bd) + (bc + ad)i

Деление комплексных чисел Рассмотрим уравнение (c+di)z=a+bi, где c+di отлично от нуля. Умножим обе части уравнения на с-di.

Операция деления комплексных чисел Т.о. для того чтобы найти частное двух комплексных чисел нужно числитель и знаменатель дроби умножить на c-di

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Два комплексных числа называются сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые противоположны по знаку. Если z = a + bi, то сопряжённое ему имеет вид = a – bi.

Если мнимая часть комплексного числа z равна 0, т.е. это действительное число, то =z Верно и обратное: если =z, то х+уi=х-уi, и следовательно у=0, т.е. z – действительное число. Т.о. для действительных чисел переход к сопряжённому не даёт ничего нового: число переходит само в себя. А это значит, что операция перехода к сопряжённому числу – это новая операция, которая содержательна именно для множества комплексных чисел.

Свойства операции перехода к сопряжённому числу Свойство 1. Если z=c+di, то z= Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6.

Пример. Пусть =3-i, =1+2i. Вычислить Решение.

Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным – i. а) выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2006 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

Тренировочные задания 1. Вычислите: 2. Решите уравнения:

Тренировочные задания 1. Найдите значение функции если: а) z=1+i; б) z=2i; в) z=2+i. 2. При каких действительных значениях а число а) является действительным; б) является чисто мнимым?

Задания для самостоятельной работы

При подготовке презентации использовались материалы:

Автор презентации: учитель математики МОУ СОШ 2 р.п. Беково Пензенской области Н.Е.Балуева