1 Научная работа «Мир мнимой единицы» Учащегося Бурого Кирилла

2 Введение Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и широкое распространение Ф.Клейн

3 История развития Д ревнегреческие математики считали настоящими только натуральные числа: Архимед разработал систему обозначения громадных чисел… Пифагор учил, что … элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом» Диофант, знавший правила действия над ними, применял отрицательные числа уже в III веке Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа мнимая единица Термин комплексные числа был введен Гауссом в 1831 году

4 Понятие комплексного числа Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. Действия с комплексными числами:

5 Сложение комплексных чисел Суммой комплексных чисел a + bi и a´ + b´i называют комплексное число (a + a´) + (b + b´)i. Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами (-3 + 5i) + (4 – 8i) = = 1 - 3i (2 + 0i) + (7 + 0i) = = 9 + 0i (0 + 2i) + (0 + 5i) = = 0 + 7i = 7i (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = = - 4 ОпределениеПримеры

6 Вычитание комплексных чисел Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a´ + b´i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a´) + (b – b´)i (-5 + 2i) – (3 – 5i) = = i (3 + 2i) – (-3 + 2i) = = 6 + 0i = 6 (2 + 3i) – (5 – 7i) = = 2 + 3i – 5 + 7i = = (2 – 5) + (3i + 7i) = = – i ОпределениеПримеры !

7 Умножение комплексных чисел Произведением комплексных чисел a + bi и a´ + b´i называется комплексное число (aa´ – bb´)+(ab´+ + ba´)i (1 – 2i)(3 + 2i) = = 7 – 4i (a + bi)(a – bi) = = a 2 + b 2 ОпределениеПримеры

8 Деление комплексных чисел Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a´ + b´i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое (7 – 4i):(3 + 2i) = = 1 – 2i (-2 +5i)/(-3 –4i) = = -0,56 – 0.92i ОпределениеПримеры !

9 Модуль комплексных чисел Модулем |z| комплексного числа z=a+bi называется число С помощью формул удобно выполнять деление комплексных чисел ОпределениеПримеры !

10 Геометрическая интерпретация комплексного числа

11 Сложение комплексных чисел

12 Заключение Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский при разработке теории крыла. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники. Таким образом, расширив свои знания в данной области дисциплины, мы сможем выполнять рациональные действия с комплексными числами и геометрически изображать данные числа на плоскости.

13 Спасибо за внимание!